Шпаргалки з топології

Шпаргалки з топології.

3. Лінії другого порядку: еліпс, гіпербола, парабола. Їх основні властивості та зображення.

Алгебраїчне рівняння $$f\left(x,y\right)=0$$ задає на площині якусь лінію. Наприклад: $$x^2+y^2=R^2$$, $$y=x^2,\dots$$ Загальне р-ня лінії 2-го порядку: $$\text{ax}+\text{bxy}+{\text{cy}}^2+\text{dx}+\text{ey}+p=0$$.

Еліпс.

Еліпсом назив. множина всіх точок площини, сума відстаней від яких до двох фіксованих точок є величина стала. Розгл. на мн. 2 точки, відстань між якими $$2c$$ .

$${\text{MF}}_1+{\text{MF}}_2=2a$$, $$a$$ — стала, $$\left(a\text{.}>c\right)$$, $$$$ -?, $$F_1\left(c\mathrm{,\; 0}\right),F_2\left(-c\mathrm{,\; 0}\right),M\left(x,y\right)$$ — координати точок $$$$.

$${\text{MF}}_1+{\text{MF}}_2=\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+{\left(y-0\right)}^2}+\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}=2a$$.

$${\left(x-c\right)}^2+y^2=4a^2+\left(x^2+c^2+2\text{xc}\right)-y^2-4a\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}$$.

$$x^2+c^2+y^2-2\text{xc}=4a^2+x^2+c^2+2\text{xc}+y^2-4a\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}$$.

$$a^2\left(x^2+2\text{xc}+c^2+y^2\right)=a^4+2a^2{\text{cx}}^2+c^2{x}^2$$.

$$x^2\left(a^2-c^2\right)+a^2{y}^2=a^2\left(a^2-c^2\right),\text{заміна}{b}^2=a^2-c^2\text{.}\text{Поділимо}\text{на}{a}^2{b}^2$$.

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ — канонічне рівняння еліпса (1).

Властивості.

1)Лінія симетрична відносно координатних осей і поч. координат.

2)Всі точки еліпса лежать в прямокутнику: $$\begin{array}{c}|x|<=a\\ |y|<=b\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

3) Точки перетину з осями.

$$\begin{array}{c}x=0\mathrm{:}{B}_1\left(\mathrm{0,}b\right)-B_2\left(\mathrm{0,}-b\right)\\ y=0\mathrm{:}{A}_1\left(a,0\right)-A_2\left(-a,0\right)\end{array}$$ Ці точки називають вершинами еліпса.

4) В першій чверті з (1): $$y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2},y^{\text{'}}=\frac{-\text{xb}}{a\sqrt{a^2-x^2}}<\mathrm{0,}\text{для}x>0$$. Це означає, що.

у I-й чверті графік спадає. $$a,b-\text{півосі},F_1,F_2-\text{фокуси}$$.

$$\begin{array}{c}x=a\text{cos}\\ y=a\text{sin}\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ — параметричне р-ня еліпса.

$$E=\frac{c}{a}-\text{ексцентриситет}\text{еліпса}$$. $$E=\frac{\sqrt{a^2-b}}{a}$$. $$x=\pm \frac{a}{E}-\text{директриси}\text{еліпса}$$ $$$$.

Гіпербола Гіперболою називається множина всіх точок площини різниця відстаней від яких до двох фіксованих точок є величина стала.

На площині розглядають точки $$F_{1}i{F}_2$$ на відстані $$F_1{F}_2=2c$$. $$|{\text{MF}}_1-{\text{MF}}_2|=2a$$, $$a<c$$. $$F{}_1\left(c-0\right),F_2\left(-c-0\right),M\left(x-y\right)$$. $${\text{MF}}_2-{\text{MF}}_1=\pm 2a$$.

$$\begin{array}{c}\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}=\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}\pm 2a\\ x^2+c^2+2\text{xc}+y^2=x^2+c^2+y^2-2\text{xc}\pm 4a\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}+4a^2\\ a^2\left(x^2-2\text{xc}+c^2+y^2\right)=c^2{x}^2+a^4-2a^2\text{cx}\\ \left(c^2-a^2\right)x^2-a^2{y}^2=a^2\left(c^2-a^2\right),\text{лозначимо}{с}^2-a^2=b^2\text{.}\text{Поділимо}\text{на}{b}^2{a}^2\\ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1-\text{канонічне}р-\text{ня}\text{гіперболи}\end{array}$$.

Властивості.

1. 1)Лінія симетрична відносно координатних осей і початку координат.

2. 2)В смужціa<x<a точок лінії немає.

3. Лінії другого порядку: еліпс, гіпербола, парабола.

1. 3) $$x=0\mathrm{:}y\mathrm{}$$ — вісь y не перетинаєy=0 $$=>$$ $$x=\pm a$$, $$A_1\left(a-0\right),A_2\left(-a,0\right)$$ — вершини гіперболи.

2. 4) $$y=\pm \frac{b}{a}x$$ — 2-і асимптоти гіперболи, $$E=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}$$. Якщо $$E->\mathrm{1,}\frac{b}{a}->0-\text{гіпербола}\text{стискується}\text{.}\text{Якщо}E->\mathrm{},\frac{b}{a}->\mathrm{}-\text{випрямляється}$$. $$x=\pm \frac{a}{E}$$ -директриси гіперболи. Якщо $$a=b$$ то $$x^2-y^2=a^2$$ — рівностороння гіпербола ($$y=\frac{k}{x}$$).

Парабола Парабола — це множина усіх точок на площині, рівновіддалених від даної точки і прямої.

$$x=-\frac{p}{2}$$ — директриса.

$$\sqrt{{\left(x-\frac{p}{2}\right)}^2+y^2}=|x+\frac{p}{2}|$$.

$$x^2-\text{px}+\frac{p^2}{4}+y^2=x^2+\text{px}+\frac{p^2}{4}$$.

$$y^2=2\text{px}$$ — канонічне р-ня параболи.

Властивості.

1. 1)Симетрична відносно Ох.

2. 2) $$x>=0$$.

3. 3)(0- 0) — єдина точка перетину з осями — вершина параболи, асимптот немає.

$$=1$$ — ексцентриситет параболи.

4. Зведення р-ня кривої другого порядку до канонічного вигляду. Афінна.

класифікація кривих 2-го порядку Спрощення рівнянь центральних ліній ІІ порядку за допомогою інваріантів.

До типу центральних ліній ІІ порядку належать еліпс, гіпербола і пара прямих, що перетинаються. Центр лінії в останньому випадку є точка перетину цих прямих. Коли задана лінія центральна то, щоб звести її р-ня до канонічного вигляду, спочатку, незміюючи напряму осей координат базису, перенесемо його початок в центр лінії. При цьому в р-ні зникають члени першого порядку відносно змінних. Далі повернемо координатний базис так, щоб його осі сумістилися з головними діаметрами, тобто осями симетрії лінії. Після цього перетворення в р-ні зникне член з добутком змінних, тобто р-ня стане канонічним. Але на практиці недоцільно щоразу виконувати всі ці перетворення. Канонічне р-ня лінії можна дістати обчисленням його коефіцієнтів за допомогою інваріантів. Справді, канонічне р-ня центральної лінії ІІ порядку має три члени:

$$a_{\text{11}}^{\text{'}}{x}^{\text{'}}+a_{\text{22}}^{\text{'}}{y}^{\text{'}}+a_{\text{33}}^{\text{'}}=0$$ (або два у випадку пари прямих).

Коефіцієнти $$a_{\text{11}}^{\text{'}}$$ і $$a_{\text{22}}^{\text{'}}$$ при квадратах змінних в р-ні лінії ІІ порядку дорівнюють розвязкам його характеристичного р-ня.

$${}^2-I_1+I_2=0$$, а вільний член за формулою $$a_{\text{331}}^{\text{'}}=\frac{I_3}{I_2}$$ .

Отже розв’язавши характеристичне р-ня і визначивши вільний член, ми відразу можемо написати канонічне р-ня центральної лінії $$\begin{array}{c}2\\ 2\\ {}_1{x}^{}{}_2{y}^{}\frac{I_3}{I_2}=0\text{.}\end{array}$$ Коли $$I_3/=0$$, тобто коли лінія ІІ порядку не вироджена, легко визначити її параметри $$a,b$$. Справді, $$a=\sqrt{|\frac{I_3}{I_2{}_1}|},b=\sqrt{|\frac{I_3}{I_2{}_2}|}$$. Отже, форма і розміри лінії відомі. Щоб знайти положення лінії і накреслити її, треба визначити координати центра і скласти р-ня осей симетрії. Для гіперболічного треба ще скласти р-ня її асимптот.

Класифікація лінії ІІ порядку.

Розглянемо рівняння 2-го порядку:

$$F(x,y)=a_{\text{11}}{x}^2+2a_{\text{12}}\text{xy}+a_{\text{22}}{y}^2+2a_{1}x+2a_{2}y+a_0=0$$ із варіантами: (1).

$$I_1=a_1+a_{\text{22}},I_2=|\begin{array}{cc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}\\ a_{\text{21}}& a_{\text{22}}\end{array}|,I_3=|\begin{array}{ccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}& a_1\\ a_{\text{21}}& a_{\text{22}}& a_2\\ a_1& a_2& a_0\end{array}|$$.

Повернемо с-му корд. на кут $$$$, щоб осі набули головних напрямків.

$$|\begin{array}{cc}{a}_{\text{11}}-& a_{\text{12}}\\ a_{\text{12}}& a_{\text{22}}-\end{array}|=0-\text{характеристичне}р-\text{ня},$$ (2).

$${}^2-\left(a_{\text{11}}+a_{\text{22}}\right)+\left(a_{\text{11}}{a}_{\text{22}}-a_{{\text{12}}^2}\right)=0$$.

$${}^2-I_1+I_2=0$$. У р-ні (1) пропаде $$x^{\text{'}}i{y}^{\text{'}}$$. Для (1) і (2) виписуємо матрицю і визначник.

$$\left(\begin{array}{cc}{a}_{\text{11}}-& a_{\text{12}}\\ a_{\text{12}}& a_{\text{22}}-\end{array}\right)=|\begin{array}{cc}{a}_{{\text{11}}^{}}-& 0\\ 0& a{}_{\text{22}}^{}-\end{array}|$$, $$a_{{\text{11}}^{}}={}_1\text{.}{a}_{{\text{22}}^{}}={}_2$$.

$$\begin{array}{c}2\\ 2\\ {}_1{x}^{}{}_2{y}^{}2a_{1^{}}{x}^{\text{'}}+2a_{2^{}}{y}^{\text{'}}+a_{0^{}}=0\end{array}$$ (3).

I. Розглянемо $$\begin{array}{c}2\\ 2\\ {}_1{x}^{}{}_2{y}^{}\frac{I_3}{I_2}=0\end{array}$$, $$I_2/=0$$ ($$3^{\text{'}\text{'}\text{'}}$$).

А) $$I_3/=0-$$ лінія невироджена,.

$$a_1$$) $${}_1,{}_2$$ — одного знаку- $$\frac{I_3}{I_2}$$ — протилежного-еліпс.

4. Зведення р-ня кривої другого п-ку до канонічного вигляду. Афінна класифікація кривих 2-го по-ку.

$$a_2)$$ $${}_1,{}_2$$ , — одного знаку — уявний еліпс.

$$a_3)$$ $${}_1,{}_2$$ — різних знаків — гіпербола.

Б) $$I_3=0$$.

$${б}_1)$$ $${}_1,{}_2$$ — різних знаків — дві прямі, що перетинаються.

$${б}_2)$$ $${}_1,{}_2$$ — одного знаку — дві уявні прямі, що перетинаються у дійсній площині.

ІІ. $$I_2=\mathrm{0,}{}_2-I_1=\mathrm{0,}{}_1=\mathrm{0,}{}_2=I_1$$.

$$\begin{array}{c}2\\ {}_2{y}^{}2a_{1^{}}{x}^{\text{'}}+2a_{2^{}}{y}^{\text{'}}+a_0=0\end{array}$$.

С) $$a_{1^{}}=0$$.

$$c_1)$$ $$D>\mathrm{0,}-$$ дві паралельні прямі.

$$c_2)$$ $$D=0-$$ дві прямі, що співпадають.

$$c_3)$$ $$D<0-$$ дві уявні паралельні прямі.

Д) $$a_{1^{}}/=0$$.

Перенесемо поч. коорд у вершину параболи.

$$\begin{array}{c}F(x,y)=0\\ F_y=0\\ =>\\ \\ y^{\text{'}}\left({}_2{y}^{\text{'}}+a_{2^{}}\right)+2a_1{x}^{\text{'}}+a_{2^{}}{y}^{\text{'}}+a_{0^{}}=0\\ {}_2{y}^{\text{'}}+a_{2^{}}=0\\ 2\\ =>{}_2{y}^{}2\sqrt{-\frac{I_3}{{}_2}{x}^{\text{'}\text{'}\text{'}}}=0\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

$$I_3=|\begin{array}{ccc}0& 0& a_{1^{}}\\ 0& {}_2& 0\\ a_{1^{}}& 0& 0\end{array}|=-a_1{}_2,a_{1^{}}=\pm \sqrt{-\frac{I_3}{{}_2}}$$.

6. Метричні, псевдометричні, ультраметричні простори. Приклади.

Метрикою на множині X називається довільна функція двох аргументів d: XX->R, для якої виконано умови:

1) для довільних x, y є X: d (x, y)>=0 — невід'ємність;

2) для довільних x, y є X: d (x, y)=0 тоді і тільки тоді, коли x=y — невиродженість;

3) для довільних x, y є X: d (x, y)=d (y, x) — симетричність;

4) для довільних x, y, z є X: d (x, z)<=d (x, y)+d (y, z) — нерівність трикутника;

Пара (X, d), де X-довільна множина, а d-метрика на X, називається метричним простором. Значення d (x, y) називають відстанню між точками x та y.

Найважливішим метричним простором є множина дійсних чисел R з метрикою, заданою як d (x, y)=|x-y|. Ця ж формула задає стандартну відстань і між елементами N, Z, Q, C. Формула.

d ((x1,x2,…, xn),(y1,y2,…, yn))= задається відстань, яку наз стандартною, між точками (x1,x2,…, xn) та (y1,y2,…, yn) множини Nn, Zn, Qn, Cn.

На довільній множині X можна задати просту метрику, названу дискретною:

d (x, y)= $$\{\begin{array}{ccc}0& \text{при}& x=y\\ 1& \text{при}& x/=y\end{array}$$.

Для цієї метрики нерівність трикутника 4) виконана у сильнішому вигляді:

4') для довільних x, y, z є X: d (x, z)<=max{d (x, y), d (y, z)}.

Очевидно, при 1) з 4') випливає 4).Функція d: XxX->R, для якої виконано 1), 2), 3), 4'), називається ультраметрикою, а пара (X, d) — ультраметричним простором.

Приклад ультраметрики — функція на XX, де X=X1X2…Xn, задана для x=(x1,x2,…, xn), y=(y1,y2,…, yn) так:

d (x, y)= $$\{\begin{array}{ccc}0& \text{при}& x=y\\ \frac{1}{k}& \text{при}& x/=y\end{array}$$.

k=inf{i|xi/=yi}.

Якщо ж для d: XX->R виконано 1), 3), 4) та слабшу умову твердження 2):

2`) для довільного х є X: d (x, x)=0;

то d називають псевдометрикою, а множину X з заданою псевдометрикоюпсевдометричним простором. Тривіальний приклад псевдометрики, яка не є метрикою-нульова функція d (x, y)/p>

На добутку X1xX2x… xXn (псевдо)метричних просторів (X1,d1), (X2,d2),…,(Xn, dn), (псевдо)метрику можна задати кількома способами, наприклад:

$${\stackrel{}{d}}_p$$ ((x1,x2,…, xn),(y1,y2,…, yn))=(d1(x1,y1)p+d2(x2,y2)p+…+dn (xn, yn) p)1/p для довільного p>1,а також $${\stackrel{}{d}}_{\mathrm{}}$$ ((x1,x2,…, xn),(y1,y2,…, yn))=max{d1(x1,y1), d2(x2,y2),…, dn (xn, yn)}.

Ці формули узагальнюють метрики на Rn.

7. Границя послідовності в метричному просторі. Повнота і поповнення метричного простору.

Числова послідовність $$a=(a_n)$$ називається безмежно малою, якщо для довільного $$>0$$ існує таке $$n_0$$, що $$|a_n|<$$ для всіх $$n=n_0,n_0+\mathrm{1,}{n}_0+\mathrm{2,}\text{.}\text{.}\text{.}$$ .

Озн1. Послідовність $$x=(x_n)$$ точок метричного простору $$(X,d)$$ збігається до точки $$yX$$, якщо числова послідовність $$d(x_n,y)$$, $$nN$$ є безмежно малою.

Озн2. Послідовність $$x=(x_n)$$ точок метричного простору $$(X,d)$$ збігається до точки $$yX$$, якщо для кожного $$>0$$ існує таке $$n_{0}N$$, що для всіх $$n>=n_0$$ відстань $$d(x_n,y)<$$ .

Озн3. Послідовність $$x=(x_n)$$ точок метричного простору $$(X,d)$$ збігається до точки $$yX$$, якщо для кожного $$>0$$ всі члени $$x_n$$, починаючи з певного моменту, містяться в кулі $$B_{}(x)$$ .

Тоді точка $$y$$ називається границею послідовності $$x=(x_n)$$, що записуємо $$y=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{x}_n$$ або $$x_n->y,n->\mathrm{}\text{.}$$ Послідовність, яка має границю називається збіжною.

Озн4. Послідовність називається фундаментальною, якщо для кожного $$>0$$ існує таке $$n_{0}N$$, що для всіх $$i,j>=n_0$$ маємо $$d(x_i,x_j)<\text{.}$$.

Озн5. Простір, в якому кожна фундаментальна послідовність має границю називається повним.

Тв-ння. Якщо підпростір $$X^{\text{'}}$$ метричного простору $$(X,d)$$ повний, то $$X^{\text{'}}$$ замкнений в $$X$$ .

Тв-ння. Замкнений підпростір $$X^{\text{'}}$$ повного метричного простору $$(X,d)$$ теж є повним.

Озн6. Поповненням метричного простору $$(X,d)$$ називається довільний повний метричний простір $$(\tilde{X},\tilde{d})$$ в який $$(X,d)$$ ізометрично вкладається як скрізь щільна множина.

Озн7. Якщо відображення $$f\mathrm{:}X->Y$$ зберігає відстані, ін'єктивне, і простір $$X$$ ізометричний образу $$A=f(X)Y$$, то $$f$$ називають ізометричним вкладенням і кажуть, що $$f$$ ізометрично вкладає простір $$X$$ у вигляді підмножини $$A$$ в простір $$Y\text{.}$$.

Теорема.(Ф.Гаусдорф). Для кожного метричного простору $$(X,d)$$ існує поповнення $$(\tilde{X},\tilde{d})$$ .

Доведення. Побудуємо поповнення $$\tilde{X}$$. Нехай $$S$$ -множина всіх фундаментальних послідовностей в $$X$$, $$\widehat{d}$$ — псевдометрика на $$S$$. При $$x{x}^{\text{'}},y{y}^{\text{'}}$$ маємо $$\widehat{d}(x,y)=\widehat{d}(x^{\text{'}},y^{\text{'}})\text{.}$$ Отже, на множині $$\tilde{X}=S/$$ класів еквівалентності, які називають пучками, можна задати метрику $$\tilde{d}(\left[x\right],\left[y\right])=\widehat{d}(x,y)\text{.}$$ Покажемо, що $$(\tilde{X},\tilde{d})$$ -шукане поповнення простору $$(X,d)$$ .

Нехай $$s=(s_n)$$ -фундаментальна пос-сть пучків-елементів $$\tilde{X}$$. Кожен $$s_n$$ є класом еквів-сті деякої фундаментальної пос-сті $$x^{(n)}=(x_k^{(n)})$$ в $$X$$. За озн. фундаментальності для кожного $$nN$$ $$k_n$$, що $$i,j>=k_n$$ вик-ся $$d(x_i^{(n)},x_j^{(n)})<1/n\text{.}$$ Утворимо пос-сть $$y_n=x_{k_n}^{(n)}\text{.}$$ Тоді для кожного $$i$$ за нерівністю трикутника $$d(y_m,y_n)=d(x_{k_m}^{(m)},x_{k_n}^{(n)})<=d(x_{k_m}^{(m)},x_i^{(m)})+d(x_i^{(m)},x_i^{(n)})+d(x_i^{(n)},x_{k_n}^{(n)})\text{.}$$ При $$i>=k_m,k_n$$ маємо $$d(x_{k_m}^{(m)},x_i^{(m)})<1/m,d(x_i^{(n)},x_{k_n}^{(n)})<1/n,$$ то, спрямовуючи $$i->\mathrm{}$$ отримаємо $$d(y_m,y_n)<=\frac{1}{m}+\underset{i->\mathrm{}}{\text{lim}}d(x_i^{(m)},x_i^{(n)})+\frac{1}{n}=\frac{1}{m}+\widehat{d}(x^{(m)},x^{(n)})+\frac{1}{n}=\frac{1}{m}+\tilde{d}(s_m,s_n)+\frac{1}{n}\text{.}$$ Звідси випливає, що послідовність $$y=(y_n)$$ теж є фундаментальною, і, отже, належить $$S$$. Її клас еквівалентності $$\left[y\right]$$ $$\tilde{X}$$ є границею $$s=(s_n)$$. Отже, $$\tilde{X}$$ -повний.

Ізометричне вкладення $$i\mathrm{:}X->\tilde{X}$$ задається так: $$i(x)=\left[(x,x,\text{.}\text{.}\text{.})\right]$$, тобто $$x$$ відображається в єдиний пучок, який містить сталу послідовність з членами, рівними $$x$$. Для довільного елемента, де $$x=(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.}),$$ збігається послідовність $$(i(x_1),i(x_2),\text{.}\text{.}\text{.}),$$ звідки образ $$i(X)$$ скрізь щільний в $$\tilde{X}$$. Доведено.

8.Точки дотику множини в метричному та топологічному просторі. Замкнені множини та замикання множини.

Означення. Точка $$x$$ називається точкою дотику множини $$A$$ в метричному просторі $$(X,d)$$, якщо $$$$ послідовність в $$A$$, збіжна в $$X$$ до $$x$$ .

Твердження. Точка $$x$$ є точкою дотику множини $$A$$ в метричному просторі $$(X,d)$$ тоді і тільки тоді, коли в кожній кулі $$B_{}(x)$$ з центром $$x$$ міститься деякий елемент множини $$A$$ .

Доведення. Якщо $$x$$ є точкою дотику $$A$$ і $$a=(a_n)$$ — послідовність точок $$A$$, збіжна до $$x$$, то для кожного $$>0$$ за означенням збіжності всі члени $$a=(a_n)$$, починаючи з деякого моменту, лежать в $$B_{}(x)$$. І навпаки, якщо в кожній кулі $$B_{}(x)$$ з центром $$x$$ міститься деякий елемент множини $$A$$, то позначимо $$a_n$$ довільний елемент $$A$$, який лежить в $$B_{1/n}(x)$$. Тоді послідовність $$a=(a_n)$$ збігається до $$x$$. Доведено.

Кожна точка множини $$A$$ є точкою дотику для $$A$$. Якщо кожна точка дотику множини $$A$$ належить $$A$$, то $$A$$ називається замкненою в $$(X,d)$$ множиною.

Твердження. Множина $$A$$ в метричному просторі $$(X,d)$$ є замкненою тоді і тільки тоді, коли границя кожної збіжної послідовності точок з $$A$$ належить $$A$$ .

Твердження. В кожному метричному просторі $$(X,d)$$ :

1. 1)порожня множина та $$X$$ є замкненими множинами;

2. 2)об'єднання кожних двох замкнених множин $$F$$ і $$G$$ є замкненим;

3. 3)перетин довільної сім'ї $$F$$ замкнених в $$X$$ множин є замкненим.

Твердження. Множина всіх точок дотику довільної множини $$A$$ в метричному просторі $$(X,d)$$ є найменшою з замкнених в $$(X,d)$$ множин, які містять $$A$$ .

Цю множину називають замиканням множини $$A$$ в $$(X,d)$$ і позначають $$\stackrel{}{A}$$ або $$\text{Cl}$$ $$A$$ .

Точку $$x$$ в топологічному просторі називають точкою дотику множини $$A$$, якщо в кожному околі $$x$$ міститься точка $$a$$ $$$$ $$A$$ .

Твердження. Множина $$A$$ є замкненою в топологічному просторі $$X$$ тоді і тільки тоді, коли $$A$$ містить всі свої точки дотику.

Доведення. Для довільної множини $$A$$ і точки $$x$$ $$$$ $$X$$ можливе одне з двох: або $$x$$ внутрішня точка для $$\begin{array}{c}\\ X\}\\ \end{array}$$, або $$x$$ -точка дотику для $$A$$. Отже, $$A$$ ­- замкнена $$$$ $$\begin{array}{c}\\ X\}\\ \end{array}$$ -відкрита $$$$ всі точки $$\begin{array}{c}\\ X\}\\ \end{array}$$ внутрішні в $$\begin{array}{c}\\ X\}\\ \end{array}$$ $$$$ ніяка точка дотику $$A$$ не лежить поза $$A$$. Доведено.

Множину всіх точок дотику $$A$$ в $$X$$ називають замиканням множини $$A$$ і позначають $$\stackrel{}{A}$$ або $$\text{Cl}$$ $$A$$ .

В топологічному просторі справедливе аналогічне твердження, що $$\text{Cl}$$ $$A$$ — найменша серед замкнених множин, які містять $$A$$ .

Відповідність, яка кожній множині $$A$$ топологічного простору співставляє її замикання $$\stackrel{}{A}$$, називається оператором замикання на $$X$$. Оператор замикання має такі властивості:

1) $$\stackrel{}{\mathrm{}}=\mathrm{}$$ ;

2) для кожного $$AX$$ виконується $$A\stackrel{}{A}$$ ;

3) для кожного $$AX$$ виконується $$\stackrel{}{A}=\stackrel{}{\stackrel{}{A}}$$ ;

4) для довільних $$A,BX$$ виконується $$\stackrel{}{AB}=\stackrel{}{A}\stackrel{}{B\text{.}}$$.

9. Внутрішні точки множини в метричному та топологічному просторі.

Відкриті множини і внутрішність множини. Межа множини.

Нехайдовільний метричний простір.Точка х називається внутрішньою точкою множини, А в метричному просторі, якщо деяка куля міститься в А. Тоді ясно, що. Множина в метричному просторі називається відкритою в, якщо кожна її точка є внутрішньою.

Можна дати рівносильне означення: Множина в метричному просторі називається відкритою, якщо доповнення до неї є замкненим.(Множина наз. замкненою в, якщо вона містить всі свої точки дотику.).

З нерівності трикутника що кожна куля в є відкритою, а замкнена куляє замкненою множиною. Дійсно, якщо, то і для з ,. Отже і кожна точка є внутрішньою, тобто є відкритою. Доведення для аналогічне.

Твердження В кожному метричному просторі :1)є відкритими множинами.

2)перетин кожних двох відкритих множин є відкритим.

3)об'єднання довільної сімї F відкритих в множин є відкритим.

Доведення 1) із означення відкритої множини. Якщо в пункті 2) точка належить то вона є внутрішньою для, і існують кулі. Тоді куля, лежить в, і є внутрішньою і для ,-відкрита. 3) Якщосімї відкритих множин, то для деякої, звідки і кожна точка є внутрішньою.

З тверд. що перетин скінченної кількості відкритих множин є відкритою множиною.

Твердження Множина всіх внутрішніх точок довільної множини, А в є найбільшою з відкритих в множин, які містяться в А.

Цю множину наз внутрішністю множини, А в і познач. Різницю, тобто множину точок, які є точками дотику для А, але не є внутрішніми в А, наз. межею множини, А і позн. або. Межа завжди є замкненою множиною, оскільки .

Пара, деХ-множина,-топологія на Х наз топологічним простором. Околом точки х в топологічному просторі Х наз відкриту в Х мн-жину, яка містить х. Точку х наз внутрішньою в мн-жині А, якщо вона лежить в, А разом з деяким своїм околом.

Твердження Множина, А є відкритою в топологічному просторі Х тоді і тільки тоді, коли кожна точка є внутрішньою в А.

Доведення Якщо, А відкрита в Х, то вона і є околом кожної точки, який міститься вА Отже, всі точки, А є внутрішніми. Якщо всі точки Авнутрішні, то обєднання околів, які лежать в А, для всіх точок, рівне А, звідки, А — відкрита.

Твердження Нехай В — база. Точка є внутрішньою в множині А тоді і тільки тоді, коли в, А міститься деякий окіл, який належить В.

Для топологічного простору означення внутрішності та межі множини повторюються.

10.Неперервні відображення метричних просторів. Рівносильність означень за Гейне та за Коші.

Пара, де Х-довільна множина, аметрика на Х, називається метричним простором Відображення метричних просторів, яке зберігає відстані, має властивість-неперервність.

Озн (за Гейне) Відображення метричних просторів називається неперервним в точці, якщо для довільної послідовності вХ, яка збігається до точки, послідовність збігається до в .

Іншими словами, неперервне в точці, коли при послідовному наближенні до значеня теж збігається до. Відображення, яке не є неперервним в точці, назив розривним в цій точці.

Озн Відображення метричних просторів називається неперервним, якщо воно є неперервним в кожній точці .

Для неперервності збереження відстаней не є обовязковим. .Достатньо, щоб вик:

.Таке відображення назив нерозтягуючим. Якщо нерозтягуюче і, то, звідки, отже, неперервне в кожній точці.

Озн (за Коші) Відображення метричних просторів називається неперервним в точці, якщо для довільного таке, що для всіх, для яких, вик .

Використовуючи поняття кулі це озн можна сформулювати так: ОЗН: Відображення метричних просторів називається неперервним в точці, якщо для довільної кулі в з центром в існує куля в Х з центром в, образ якої міститься в. Інакше кажучи, неперервне в, якщо образи точок, достатньо близьких до, є близькими до. Це означення наз означенням неперервності за Коші або мовою, а попереднєза Гейне або мовою послідовностей.

Твердження Довільне відображення метричних просторів неперервне в деякій точці за Гейне тоді і тільки тоді, коли воно неперервне в за Коші.

Доведення Нехай неперервне в точці за Гейне. Припустимо, що не є неперервним в за Коші. Тоді для деякого в кожній кулі, , міститься, для якого. Позначимо ту точку з, образ якої не лежить в, як. Оскільки, то при, але, тому не прямує до і не є неперервним в за Гейне — отримано суперечність.

Нехай тепер неперервне в точці за Коші, і послідовність прямує до. Для кожного таке, що з випливає. За означенням границі послідовності для цього таке, що для всіх маємо. Отже, для всіх: і послідовність прямує до .Отже, -неперервне.

в точці за Гейне.

Озн Відображення метричних просторів називається рівномірно неперервним, якщо для довільного таке в Х, що для всіх, для яких, вик .

Видно, що з рівномірної неперервності випливає неперервність.

11. Поняття топології і способи її задання: метрика, база, передбаза.

Топологією на множині Х наз. довільна сім'я її підмножин, для якої виконано умови: 1) множини $$\mathrm{}$$ та Х належать до $$$$ — 2) для довільних перетин — 3) для кожної сім'ї об'єднання її елементів $$F$$ належить до .

Пару (Х,), де Х — множина, — топологія на Х, наз. топологічним простором. Елементи $$$$ наз. відкритими множинами в просторі (Х,). Доповнення до відкритих множин наз. замкненими множинами в топології $$$$ .

Твердження. Множини в (псевдо)метричному просторі (Х, d), відкриті відносно (псевдо)метрики d, утворюють деяку топологію Множини, замкнені відносно d, збігаються з множинами, замкненими в .

Отже, один з способів отримати топологію на множині Х — обрати на Х (псевдо)метрику d та утворити сім'ю з усіх множин, відкритих відносно d. Кажемо, що топологія $$$$ породжується (псевдо)метрикою d.

Простий спосіб утворити топологію на множині Х полягає у тому, щоб включити в всі підмножини в Х, оголосивши всі множини відкритими. Така топологія наз. дискретною топологією на Х.

Якщо і - топології на Х, і, то наз. меншою або слабшою, — більшою або сильнішою. Дискретна топологія є найсильнішою з топологій на Х. Інша крайність — антидискретна топологія, яка за означенням топології міститься в кожній топології на Х, і, отже, є найслабшою. Оскільки в метричному просторі кожна точка є замкненою множиною, що не виконується для антидискретної топології, то ця топологія не може бути заданою метрикою, але породжується нульовою псевдометрикою.

Сім'я В підмножин топологічного простору (Х,) наз. його базою або базою топології, якщо всі елементи В відкриті (тобто), і відкрита кожна множина є об'єднанням деякої сім'ї F елементів В.

Твердження. Сім'я В підмножин множини Х є базою топології на Х тоді і тільки тоді, коли, і для кожної точки х довільної відкритої множини $$UX$$ існує, для якого.

Отже, кулі утворюють базу топології, породженої метрикою. Кожна топологія $$$$ є (тривіальною) базою для себе. Всі відкриті інтервали (a, b), a<b, утворюють базу стандартної топології на R.

Сім'я множин Р наз. передбазою топології, якщо всі скінченні перетини елементів Р утворюють деяку базу В топології. Сім'я всіх променів вигляду та, де R, є передбазою стандартної топ-ї на R.

Твердження. Нехай сім'я замкнених підмножин множини Х задовольняє умови:

1) множини $$\mathrm{}$$ та Х належать до ;

2) для довільних F, G $$$$ об'єднання F $$$$ G $$$$ ;

3) для кожної сім'ї перетин її елементів $$F$$ $$$$ .

Тоді сім'я всіх доповнень XF до елементів F є топологією на Х.

Доведення. Застосовуємо формули $$\begin{array}{c}(X\}\\ \end{array}$$ F $$\begin{array}{c})(X\}\\ \end{array}$$ G $$\begin{array}{c}\\ )=X(\end{array}$$ F $$$$ G $$)$$, F $$|$$ F.

12.Аксіоми відокремленості.Гаусдорфові, регулярні та нормальні простори.

Аксіома. Для кожних точок, , існує відкрита множина U, для якої, $$yU$$ або. Х.

х у U.

Аксіома .Для кожних точок, , існує відкрита множина U, для якої, $$yU$$ Тоді і для у існує така відкрита множина V, що .

Х З, але з не випливає .

х U V у.

Аксіома. Для кожних точок, , існують відкриті множини U і V, для яких і .

Х З випливає, але не навпаки.

х у Топологічні простори, в яких виконано, наз. гаусдорфовими.

U V Околом множини, А в топологічному просторі Х наз. будь-яку.

Відкриту множину, яка містить А.

Аксіома $$T_3$$. Для кожної точки, яка не належить замкненій множині, існують відкриті множини U та V, для яких і .

Х Дійсно, нехай топологія на Х задається метрикою d, і точка х.

не належить замкненій в Х множині F. Доповнення ХF.

х U V F відкрите і містить х, отже, існує куля. Куля.

та об'єднання відкриті неперетинні.

і містять відповідно х і F.

Аксіому $$T_3$$ можна сформулювати інакше: для кожного околу U довільної точки існує окіл, для якого .

Твердження. З аксіом і $$T_3$$ випливає $$T_2$$ .

Дов. Нехай в Х виконано і $$T_3$$, і - довільні точки Х. Принаймні для однієї з них, наприклад, для х, існує окіл, для якого. Множина замкнена і не містить х, отже, існують відкриті неперетинні,. Тоді, ,, тобто виконано .

Топологічний простір Х, в якому виконано і $$T_3$$ (а, отже, $$T_1$$ та), наз. регулярним. Не всі гаусдорфові простори є регулярними.

Аксіома $$T_4$$. Для довільних замкнених множин $$F,GX$$, які не перетинаються, існують неперетинні відкриті множини та .

Х Аксіому можна сформулювати іншим способом: для кожного.

околу U довільної замкненої множини існує окіл ,.

F G для якого $$\text{Cl}$$ $$VU$$ .

U V Приклад анти дискретного простору доводить, що з $$T_4$$ не.

випливає, чи. Якщо ж в топологічному просторі Х виконано та $$T_4$$ (а тоді й $$T_0$$, , $$T_3$$), то Х наз. нормальним простором. Всі метризовані простори є нормальними.

14. Неперервні відображення топологічних просторів.

Озн. Відображення топологічного простору в топол. простір назив. неперервним в точці, якщо для кожного околу існує окіл, для якого. Відображеня, яке не є неперервним в точці називається розривним в ній.

Твердж. Якщо топології і на та породжені деякими метриками і, то відображення $$f\mathrm{:}X->Y$$ неперервне в т. $$xX$$ відносно і $${}^{\text{'}}$$ т. і т. тоді, коли $$f$$ неперервне в відносно і .

Озн. Відображення топологічного простору в топологічний простір назив. неперервним, якщо воно є неперервним в кожній точці $$xX$$ .

Озн. Відображення $$f$$ топологічного простору в топологічний простір назив. неперервним, якщо прообраз $$f^{-1}(U)$$ кожної відкритої множини $$UY$$ є відкритим в $$X$$ .

Твердж. Відображення топологічних просторів $$f\mathrm{:}X->Y$$ є неперервним т. і т. тоді, коли виконано $$$$ з рівносильних тверджень:

1) прообраз $$f^{-1}(F)$$ кожної замкненої множини замкнений в ;

2)для кожної множини виконано .

Довед. Те, що перше твердження рівносильне неперервності, випливає з того, що. Доведемо, що з першого твердження випливає друге, а з другого — неперервність. Нехай $$f$$ неперервне, і - довільна множина в. Оскільки, то $$A$$ міститься в прообразі $$f^{-1}(C1f(A))$$ замкненої множини, який є теж замкненим. Отже, й замикання міститься в цьому прообразі, тому. Якщо ж включення виконано для кожної $$AX$$, то оберемо довільну точку $$xX$$, окіл та покладемо. Оскільки, то точка не належить до $$C1f(A)$$. Згідно $$f(C1A)C1f(A)$$ точка $$x$$ не належить $$C1A$$. Отже, -окіл, який містить $$x$$, не містить точок з $$\begin{array}{c}\\ A=f^{-1}(Y\\ \end{array}$$ і тому відображення $$f$$ в. Таким чином, відображення $$f$$ неперервне в кожній точці. div>

Твердж. Нехай $$f\mathrm{:}X->Y$$ -відображення топологічних просторів, і в $$Y$$ обрано передбазу $$P$$. Тоді $$f$$ неперервне т. і т. тоді, коли прообрази при $$f$$ всіх елементів $$P$$ відкриті.

Довед. Оскільки всі елементи $$P$$ відкриті, то з неперервності випливає, що їх прообрази теж є відкритими. Якщо ж відкриті всі прообрази елементів $$P$$, то для довільних $$U_1,U_2,\dots ,U_{n}P$$ проораз теж відкритий. Оскільки елементи вигляду

, утворюють базу $$B$$ в $$Y$$, а кожна відкрита множина є об'єднанням сім'ї елементів, , то — теж відкрита множина.

.

Твердж. та — відображення топологічних просторів. Тоді: 1) Якщо $$f$$ неперервне в точці $$x_{0}X$$, ав точці, то композиція неперервна в $$x_0$$. 2) Якщо $$f$$ та $$g$$ неперервні, то композиція $$gf\mathrm{:}X->Z$$ теж неперервна.

Твердж. Якщонеперервне відображення топологічних просторів, і $$X_{0}X$$ та $$Y_{0}Y$$ — підпростори, для яких, то обмеження $$f_0\mathrm{:}{X}_0->Y_0$$ відображення $$f$$ теж є неперервним.

Довед. Кожна відкрита множина має вигляд, де — відкрита в. Тоді - за неперервністю $$f$$ і означення топології підпростору відкрита в. div>

13. Різновиди зв’язності та співвідношення між ними.

Підмножини $$A$$ і $$B$$ топологічного простору відокремлені, якщо ніяка з них не містить точок дотику іншої, тобто $$C1AB=0$$, $$AC1B=0$$ .

Лема. Нехай $$X_0$$ — підпростір топологічного простору $$X$$, і $$A{X}_0$$. Тоді $$C{1}_{X_0}A=C{1}_{X}A{X}_0$$ (де $$C{1}_{X_0}$$

та.

$$C{1}_X$$.

Довед. Якщо $$b$$ є точкою дотику $$A$$ в $$X_0$$, а $$Ub$$ — довільний окіл в просторі $$X$$, то в окілі $$U{X}_0$$ точки $$b$$ в просторі $$X_0$$, а тим більше в $$U$$ міститься деяка $$aA$$, отже, $$b$$ — точка дотику $$A$$ в $$X$$. Якщо ж $$b{X}_0$$ — точка дотику $$A$$ в просторі $$X$$, то кожен окіл $$U_{0}b$$ в $$X_0$$ має вигляд $$U_0=U{X}_0$$, де $$U$$ — окіл $$b$$ в $$X$$. За припущенням в $$U$$ міститься деяка $$aA$$. Оскільки $$A{X}_0$$, то $$aU{X}_0=U_0$$, звідки $$b$$ -точка дотику $$A$$ в $$X_0$$ .

Твердж. Нехай множини $$A$$ і $$B$$ лежать в довільному підпросторі $$X_0$$ деякого простору $$X$$. Тоді $$A$$ і $$B$$ відокремлені в $$X$$ т. і т. тоді, коли вони відокремлені в $$X_0$$ .

Довед. Згідно попередньої леми довільна точка однієї з множин $$A$$ і $$B$$ є точкою дотику іншої множини в $$X$$ т. і т. тоді, коли вона є точкою дотику в $$X_0$$. Звідси випливає, що $$A$$ і $$B$$ відокремлені в $$X$$ т. і т. тоді, коли вони відокремлені в $$X_0$$ .

Озн. Множина $$X_0$$ в топологічному просторі $$X$$ назив. зв’язною, якщо $$X_0$$ не можна отримати як диз’юнктне об'єднання двох відокремлених в $$X$$ непорожніх множин $$A$$ і $$B$$. Зокрема, топологічний простір називається зв’язним, якщо він є зв’язною множиною у собі (його не можна розбивати на дві непорожні відокремлені підмножини $$A$$ і $$B$$). Якщо ж таке подання можливе, множину назив. незв’язною.

Твердж. Множина $$X_0$$ в топологічному просторі $$X$$ є зв’язною т. і т. тоді, коли $$X_0$$ є зв’язним простором в топології підпростору в $$X$$ .

Довед. Нехай $$X_0$$ розбито на неперетинні непорожні множини $$A$$ і $$B$$. Тоді $$A$$ і $$B$$ відокремлені в $$X$$ т. і т. тоді, коли вони відокремлені в $$X_0$$. Отже, незв’язність множини $$X_0$$ в $$X$$ рівносильна незв’язності підпростору $$X_0$$ .

Твердж. Топологічний простір $$X$$ зв’язний т. і т. тоді, коли виконано будь-яке з рівносильних тверджень: 1) простір $$X$$ не можна зобразити у вигляді диз’юнктного об'єднання двох непорожніх замкнених множин- 2) простір $$X$$ не можна зобразити у вигляді диз’юнктного об'єднання двох непорожніх відкритих множин- 3) єдиними відкрито-замкненими множинами (тобто одночасно відкритими і замкненими) множинами в $$X$$ є $$0$$ і $$X$$ .

Довед. Доведемо, що заперечення будь-якого з цих тверджень рівносильне незв’язності. Якщо $$X$$ незв’язний, і $$X=A$$ B, де $$A$$ і $$B$$ — непорожні і відокремлені, то $$\begin{array}{c}\\ AC1AX=A\end{array}$$, звідки $$A=C1A$$ — замкнена. Аналогічно замкнена і $$B$$, тото виконано заперечення першого твердження. Якщо $$X=A$$ B, де $$A$$ і $$B$$ — непорожні і замкнені, то множина $$\begin{array}{c}\\ A=X\}\\ \end{array}$$ і $$\begin{array}{c}\\ B=X\}\\ \end{array}$$ одночасно є відкритими. Якщо $$X=A$$ B, де $$A$$ і $$B$$ -непорожні і відкриті, то множина $$\begin{array}{c}\\ A=X\}\\ \end{array}$$ — відкрито замкнена, $$A/=0$$, $$A/=X$$, то $$\begin{array}{c}\\ B=X\}\\ \end{array}$$ — теж непорожня, і $$A$$ та $$B$$ відокремлені, звідки $$X$$ — незв’язний.

Твердж. Простір $$X$$ зв’язний т. і т. тоді, коли єдиними в $$X$$ множинами з порожньою межею є $$0$$ і $$X$$ .

Твердж. Множина $$R$$ з стандартною топологією є зв’язною.

Довед. Припустимо протилежне. Нехай $$R$$ є об'єднанням не порожніх диз’юнктних замкнених множин $$A$$ і $$B$$. Будемо вважати, що існують $$aA$$, $$bB$$, для яких $$a<b$$. Множина $$C=A(-\mathrm{}-b)$$ не порожня і обмежена згори. Згідно аксіом множини дійсних чисел ця множина має точну верхню грань $$c$$. За побудовою $$c$$ в кожному проміжку $$(c-,c]$$ міститься елемент з $$A$$, а в кожному проміжку $$[c,c+)$$ — елемент з $$B$$. Отже, $$c$$ — спільна точка дотику диз’юнктних множин $$A$$ і $$B$$, і вони не можуть одночасно бути замкненими.

Наслідок. Одиничний відрізок $$I=[\mathrm{0,1}]$$ з стандартною топологією є зв’язним.

Твердж. Топологічний добуток та букет довільної сім'ї не порожніх просторів є зв’язним т. і т. тоді, коли всі ці простори зв’язні.

Твердж. Неперервний образ $$Y$$ зв’язного простору $$X$$, тобто простір $$Y$$, на який існує неперервне відображення $$f\mathrm{:}X->Y$$ з зв’язного простору, є зв’язним.

Довед. Припустимо, що в $$Y$$ існує не порожня відкрито-замкнена множина $$A/=Y$$. За властивостями неперервних відображень її прообраз $$f^{-1}(A)$$ теж є відкрито-замкненим, а за сюр'єктивністю $$f$$ він є непорожнім і не рівним $$X$$. Отже, $$X$$ незв’язний, що суперечить умові.

Твердж. Довільне об'єднання сім'ї $$X_{}$$, $$A$$ зв’язних множин простору $$X$$, які мають спільну точку $$x_0$$, є зв’язним.

Довед. Припустимо протилежне. Тоді підпростір $$X_0={}_A{X}_{}$$ є незв’язним в індукованій топології і зображається як диз’юнктне об'єднання не порожніх відкрито-замкнених в $$X_0$$ множин $$A$$ і $$B$$. Принаймні одна з них, наприклад, $$A$$ містить $$x_0$$. Оскільки кожен з $$X_{}$$ є підпростором $$X_0$$, всі перетини $$A{X}_{}$$ є відкрито-замкнені в $$X_{}$$ і непорожні (оскільки містять $$x_0$$). Зі зв’язності всіх $$X_{}$$ випливає, що $$A{X}_{}=X_{}$$, тобто $$A{X}_{}$$ для всіх $$A$$. Звідси $${}_A{X}_{}A{}_A{X}_{}$$, і $${}_A{X}_{}=A$$

$$B=0$$, що суперечить припущенню.

.

Твердж. Якщо кожні дві точки $$x,y$$ множини $$A$$ топологічного простору $$X$$ лежать у зв’язній підмножині $$A^{\text{'}}A$$, то множина $$A$$ — зв’язна.

Якщо для довільної точки $$xX$$ об'єднати всі зв’язні множини, які містять $$x$$, то отримаємо найбільшу в $$X$$ зв’язну множину серед тих, які містять $$x$$. Вона назив. компонентою зв’язності або компонентою точки $$x$$ .

Твердж. Замикання зв’язної множини $$X_0$$ простору $$X$$ є зв’язним.

Довед. Нехай $$C1X_0$$ є об'єднанням не порожніх диз’юнктних замкнених в $$C1X_0$$ множин $$A$$ і $$B$$. Тоді їх сліди $$A{X}_0$$ і $$B{X}_0$$ є диз’юнктними і замкненими в $$X_0$$, звідки за зв’язністю $$X_0$$ один з них, скажімо, $$A{X}_0$$, рівний $$X_0$$. Отже, $$X_0$$ лежить в замкненій в $$C1X_0$$ множині $$A$$, і в $$B$$ немає точок дотику $$X_0$$. Але за умовою, $$AB=C1X_0$$, звідки $$B=0$$ — суперечність.

Озн. Простір $$X$$ назив. локально зв’язним, якщо в кожному околі $$U$$ довільної точки $$xX$$ міститься зв’язна множина $$C$$, для якої $$x\text{IntC}$$ .

Твердж. Компонента зв’язності кожної точки $$x$$ локально зв’язного простору $$X$$ у довільному околі $$Ux$$ є відкритою.

Довед. Нехай $$VU$$ — згадана компонента точки $$x$$. За означенням локальної зв’язності для довільної точки $$yV$$ існує така зв’язна множина $$CU$$, $$y\text{IntC}$$. Тоді $$VC$$ — теж зв’язна, містить $$x$$ і лежить в $$U$$, звідки за максимальністю маємо $$VC$$. Тому $$VC\text{IntC}y$$, і кожна точка $$yV$$ є внутрішньою, тобто $$V$$ — відкрита.

Наслідок. Компоненти зв’язності локально зв’язного простору $$X$$ є відкритими.

Озн. Кривою (параметризованою кривою) в топологічному просторі $$X$$ з початком $$x$$ та кінцем $$y$$ назив. довільне неперервне відображення $$$$ з одиничного відрізка $$I$$ з стандартною топологією в $$X$$, для якого $$x=(0)$$, $$y=(1)$$. Аргумент $$tI$$ відображення $$$$ назив. параметром кривої, а образ $$(I)$$ — носієм кривої. Точки $$x,y$$ множини $$A$$ простору $$X$$ можна сполучити кривою в $$A$$, якщо існує крива $$$$ в $$X$$ з початком $$x$$ і кінцем $$y$$, для якої $$(t)A$$ для всіх $$tI$$. Множина $$A$$, кожні дві точки $$x,y$$ якої можна сполучити кривою в $$A$$, назив. лінійно зв’язною.

Твердж. Лінійно зв’язна множина $$A$$ є зв’язною.

Довед. Носій кожної кривої є зв’язним як неперервний образ зв’язного відрізка $$I$$. Оберемо довільну точку $$aA$$. З кожною точкою $$xA$$ її з'єднує крива. Отже, $$A$$ — об'єднання зв’язних носіїв кривих з спільним початком $$a$$, яке є зв’язним.

Клас еквівалентності точки $$x$$, тобто точки, які можна сполучити з $$x$$ кривими, називається компонентою лінійної зв’язності точки $$x$$ .

Простір $$X$$ називається локально лінійно зв’язним, якщо в кожному околі точки $$xX$$ міститься лінійно зв’язна множина $$C$$, для якої $$x\text{IntC}$$ .

Твердж. Компонентою лінійної зв’язності кожної точки $$x$$ локально лінійно зв’язного простору $$X$$ у довільному околі $$U$$ є відкритою.

Довед. Якщо точка $$y$$ лежить в компоненті лінійної зв’язності $$V$$ довільної точки $$x$$ в околі, то існує множина $$CU$$, з усіма точками якої $$y$$ можна сполучити кривими, які лежать в $$CU$$, і $$y\text{IntC}$$. Отже, кожну точку $$C$$ можна сполучити з $$x$$ кривою в межах $$U$$, і $$CV$$. звідси $$y\text{IntC}V$$, кожна точка $$yV$$ є внутрішньою, і $$V$$ — відкрита.

Наслідок. Компоненти лінійної зв’язності локально лінійно зв’язного простору є відкритими.

Твердж. Для топологічного простору $$X$$ рівносильними є твердження: 1) в кожному околі $$U$$ довільної точки $$xX$$ міститься лінійно зв’язна множина $$C$$, для якої $$x\text{IntC}$$ — 2) в кожному околі $$U$$ довільної точки $$xX$$ міститься лінійно зв’язний окіл $$V$$ точки $$x$$ — 3) в кожному околі $$U$$ довільної точки $$xX$$ міститься окіл точки $$x$$, з кожною точкою $$y$$ якого $$x$$ можна сполучити кривою, яка лежить в $$U$$ .

Довед. (1 $$=>$$ 2) згідно останнього твердження за $$V$$ можемо взяти компоненту лінійної зв’язності точки $$x$$ в околі $$U$$. (2 $$=>$$ 3) Очевидно, оскільки у випадку (2) ця крива лежатиме навіть у $$VU$$. (3 $$=>$$ 1) Твердження (3) означає, що компонента $$C$$ лінійної зв’язності точки $$x$$ в околі $$U$$ містить окіл $$Vx$$. Тоді $$C$$ задовольняє вимоги (1).

Твердж. Зв’язний локально лінійно зв’язний простір $$X$$ є лінійно зв’язним.

Довед. Компонента лінійної зв’язності $$V$$ довільної точки $$x$$ відкрита. Об'єднання $$W$$ інших компонент лінійної зв’язності теж відкрите, отже, $$X$$ рівне об'єднанню диз’юнктних відкритих множин $$V$$ і $$W$$. Оскільки за умовою $$X$$ зв’язний, а $$V/=0$$, то $$W=0$$. Отже, $$X=V$$ — лінійно зв’язний.

Поверхні другого порядку Прикладами поверхонь другого порядкує такі:

1) $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$ -еліпсоїд,.

2) $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$$ -однопорожнинний гіперболоїд,.

3) $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$$ -двопорожнинний гіперболоїд,.

4) $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$$ -конус,.

5) $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$$ -еліптичний параболоїд,.

6) $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$$ -гіперболічний параболоїд,.

7) $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ -еліптичний циліндр,.

8) $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$ -гіперболічний циліндр,.

9) y2=2px-параболічний циліндр.

Еліпсоїд. Властивості.

1)Поверхня симетрична відносно координатних осей, координатних площин, початку координат.

2)Всі точки еліпса розташовуються всередині паралелепіпеда, що характеризується системою:

$$\{\begin{array}{c}|x|<=a\\ |y|<=b\\ |z|<=c\end{array}$$.

3) Перетин з осями.

z: x=0, y=0, z=±c.

x: y=0, z=0, x=±a.

y: x=0, z=0, y=±b.

3) Перетин поверхні з площинами.

$$\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}z=p,& |p|<=c\end{array}\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{p^2}{c^2}>=0\end{array}$$.

Аналогічно в площині хОz і yOz.

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{c^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$.

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{b^2}=1$$.

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{a^2}=1$$.

Еліпсоїди обертання відповідно з осями z, x, y.

Одно порожнинний гіперболоїд. Властивості.

1)Поверхня симетрична відносно координатних осей, координатних площин, початку координат.

2) Перетин з осями.

x=0, y=0, ;

y=0, z=0, x=±a.

x=0, z=0, y=±b.

3) Перетин поверхні з площинами.

$$\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}z=p,& |p|<=c\end{array}\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1+\frac{p^2}{c^2}>=0\end{array}$$.

$$\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}x=p,& |p|<=c\end{array}\\ \frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1-\frac{p^2}{a^2}>=0\end{array}$$.

$$\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}y=p,& |p|<=c\end{array}\\ \frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1-\frac{p^2}{b^2}>=0\end{array}$$.

Еліптичний параболоїд. Властивості.

1) Симетричний поверхні відносно площин хОz, yOz, осі z.

2) z>=0.

3) (0−0-0)-єдина точка перетину поверхні з осями.

4) $$\{z=\frac{y^2}{b^2}+\frac{p^2}{a^2}$$ -параболи однієї форми, вітки повернуті вгору, вершина піднімається при зростанні $$|p|$$ .

Аналогічно y=p.

Конус. Властивості.

1) Поверхня симетрична відносно координатних осей, координатних площин, початку координат.

2) (0−0-0)-єдина точка перетину з осями.

3) $$\{\begin{array}{c}x=p\\ \frac{z^2}{c^2}-\frac{y^2}{b^2}=\frac{p^2}{a^2}\end{array}$$ -гіпербола, при $$|p|/=0$$ — при p=0-дві прямі.

4) $$\{\begin{array}{c}z=p\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{p^2}{c^2}\end{array}$$ — еліпси, півосі зростають, при зростанні $$|p|$$ .

2 .Пряма на площині. Площина і пряма в просторі. Взаємне розміщення площин, прямих і площин в просторі.

Нехай пряма (на площині чи в просторі) проходить через задану точку $$M_0$$ паралельно заданому ненульовому в-ру $$\stackrel{}{s}$$, який наз. напрямним в-ром прямої. Точка $$M_0$$ і її напрямний ве-р цілком визначають пряму, паралельно в-ру $$\stackrel{}{s}$$. Складемо р-ня цієї прямої. Позначимо через $$M$$ довільну точку прямої і розглянемо радіуси-вектори $$\stackrel{}{r_0}=\stackrel{}{{\text{OM}}_0}$$ та $$\stackrel{}{r}=\stackrel{}{\text{OM}}$$ точок $$M_0$$ та $$M$$ і в-р $$\stackrel{}{M_{0}M}$$, що лежить на даній прямій. Оскільки в-ри $$\stackrel{}{M_{0}M}$$ = $$\stackrel{}{r}-\stackrel{}{r_0}$$ і $$\stackrel{}{s}$$ колінеарні, то $$\stackrel{}{r}-\stackrel{}{r_0}$$ = $$\stackrel{}{s}t$$, звідки $$\stackrel{}{r}=\stackrel{}{r_0}+\stackrel{}{s}t$$ (1)-векторне параметричне р-ня прямої. Якщо пряма $$l$$ задається т. $$M_0(x_0,y_0)$$ та напрямним в-ром $$\stackrel{}{s}=(m-n)$$, то, прирівнюючи відповідні координати векторів $$\stackrel{}{r}$$ та $$\stackrel{}{r_0}+\stackrel{}{s}t$$ за ф-лою (1), маємо: $$x=x_0+\text{mt},y=y_0+\text{nt}(2)$$ -параметричні р-ня прямої, звідки $$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}(3)-$$ канонічне рня. Якщо пряма не $$\text{Ox}$$, то р-ня (3) можна записати: $$y-y_0=(n/m)(x-x_0)$$ або $$y=(n/m)(x+(y_0-(n/m)x_0))$$. Позначимо $$n/m=k,y_0-(n/m)x=b$$, тоді $$y-y_0=k(x-x_0)$$ (4)-р-ня прямої, яка проходить через задану точку і має заданий кутовий коефіцієнт. $$y=\text{kx}+b$$ (5)-р-ня прямої з кутовим коефіцієнтом. Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки $$M_1(x_1-y_2),M_2(x_2-y_2)$$, дістанемо з р-ня прямої, що проходить через точку $$M_1$$ і має напрямний вектор $$\stackrel{}{s}=\stackrel{}{M_1{M}_2}=(x_2-x_1-y_2-y_1)\mathrm{:}\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$$ (6). Якщо пряма проходить через точки $$A(a-0),B(0-b)$$, тобто відтинає на осях відрізки $$a$$ та $$b$$, то $$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$$ (7)-р-ня прямої у відрізках на осях. Розглянемо р-ня прямої, яка проходить через задану точку $$M_1(x_1-y_1)$$ перпендикулярно до заданого ненульового вектора $$\stackrel{}{n}=(A-B)-$$ нормальний в-р прямої. $$A(x-x_1)+B(y-y_1)=0$$ (8)-р-ня прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого в-ра. Загальне р-ня прямої $$\text{Ax}+\text{By}+C=0()$$. Це р-ня I-го степеня. Чи всяке р-ня (*) задає пряму? Нехай $$M_0(x_0,y_0)$$ — розв’язок р-ня (*). $${\text{Ax}}_0+{\text{By}}_0+C=0(\text{**})$$. (*)-(**) $$=>$$ $$A(x-x_0)+B(y-y_0)=0$$. Нехай $$\stackrel{}{l}(-B-A),M(x-y),\stackrel{}{l}$$ || $$d$$, де $$d$$ — деяка пряма ($$M_0,Md$$). Отримаємо $$\frac{x-x_0}{-B}=\frac{y-y_0}{A}$$ $$=>\stackrel{}{M_{0}M},\stackrel{}{l}-$$ колінеарні. $$C=0\mathrm{:}\text{Ax}+\text{By}=0-$$ пряма проходить через початок координат- $$A=C=0\mathrm{:}\text{By}=\mathrm{0,}y=0-$$ вісь $$\text{Ox}$$ — $$B=C=\mathrm{0,}x=0-$$ вісь $$\text{Oy}$$ — $$C/=\mathrm{0,}A=0\mathrm{:}\text{By}+C=\mathrm{0,}$$ отже $$y=$$ — $$C/=\mathrm{0,}B=0\mathrm{:}\text{Ax}+C=\mathrm{0,}$$ отже $$x=$$ .

Кут між двома прямими. а) Нехай прямі $$l_1,l_2$$ задано канонічними рівняннями: $$\frac{x-x_1}{m_1}=\frac{y-y_1}{n_1}-\frac{x-x_2}{m_2}=\frac{y-y_2}{n_2}$$ і $$=(l_1,l_2)$$ -кут між цими прямими, $$0<<$$ .Оскільки в-ри $$\stackrel{}{s_1}=(m_1-n_1)$$ і $$\stackrel{}{s_2}=(m_2-n_2)$$ є напрямними в-рами даних прямих і $$=(\stackrel{}{s_1},\stackrel{}{s_2})$$, тоді маємо.

$$\text{cos}=\frac{\stackrel{}{s_1}\stackrel{}{s_2}}{|\stackrel{}{s_1}||\stackrel{}{s_2}|}=\frac{m_1{m}_2+n_1{n}_2}{\sqrt{m_1^2+n_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2}}$$ (1). Якщо $$l_1$$ || $$l_2$$, то $$\stackrel{}{s_1}$$ || $$\stackrel{}{s_2}$$, тому їх координати пропорційні, тобто $$\frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}$$ -умова паралельності двох прямих. Якщо $$l_1$$ $$$$ $$l_2$$, то $$\stackrel{}{s_1}$$ $$$$ $$\stackrel{}{s_2}$$ і їхній скалярний добуток = нулю, отже, $$m_1{m}_2+n_1{n}_2=0-$$ умова перпендикулярності двох прямих. б) Нехай прямі $$l_1,l_2$$ задано загальними р-ми: $$A_{1}x+B_{1}y+C_1=\mathrm{0,}{A}_{2}x+B_{2}y+C_2=0$$, тоді кут $$$$ між ними = куту між їхніми нормальними векторами $$\stackrel{}{n_1}=(A_1-B_1),\stackrel{}{n_2}=(A_2-B_2)$$, тому $$\text{cos}=\frac{A_1{A}_2+B_1{B}_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2}}$$ — $$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}$$ — умова паралельності прямих $$l_1,l_2$$ — $$A_1{A}_2+B_1{B}_2=0$$ — умова перпендикулярності прямих $$l_1,l_2$$. в) Нехай прямі $$l_1,l_2$$ задані р-ми з кутовими коефіцієнтами $$y=k_{1}x+b_1,y=k_{2}x+b_2$$, де $$k_1=\text{tg}{}_1,k_2=\text{tg}{}_2$$ — кутові коефіцієнти.

$$\text{tg}=\text{tg}({}_2-{}_1)=\frac{\text{tg}{}_2-\text{tg}{}_1}{1+k_1{k}_2})\text{.}$$ Отже, $$\text{tg}=\frac{k_2-k_1}{1+k_1{k}_2}$$ .Умовою паралельності двох прямих є $$k_1=k_2$$, а перпендикулярності - $$k_1{k}_2+1=0$$ або $$k_2=-1/k_1\text{.}$$ Нехай задано пряму $$l$$ р-ням $$\text{Ax}+\text{By}+C=0$$ і т. $$M_0(x_0,y_0)$$. Відстань $$d$$ від точки $$M_0$$ від прямої $$l$$ дорівнює: ($$\stackrel{}{n}=(A-B)$$ -напрям нормального вектора): $$d=\frac{|{\text{Ax}}_0+{\text{By}}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$ .

Різні способи задання площини в просторі. Нехай задано т. $$M_0(x_0,y_0,z_0)$$, вектори $$\stackrel{}{u}(u_1,u_2,u_3),\stackrel{}{v}(v_1,v_2,u_3)-M(x,y,z)$$ -біжуча точка. $$M\stackrel{}{M_{0}M},\stackrel{}{u},\stackrel{}{v}-$$ компланарні $$$$ мішаний добуток $$(\stackrel{}{M_{0}M},\stackrel{}{u},\stackrel{}{v})=0|\begin{array}{ccc}x-x_0& y-y_0& z-z_0\\ u_1& u_2& u_3\\ v_1& v_2& v_3\end{array}|=0(1)$$ або $$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$ р-ня площини, яка проходить через т. $$M_0(x_0,y_0,z_0)$$. Загальне р-ня площини- $$\text{Ax}+\text{By}+\text{Cz}+D=0(2)$$. Р-ня площини, що проходить через три точки: $$M_i(x_i,y_i,z_i),i=\mathrm{1,2,3}\text{.}$$.

(1) $$=>|\begin{array}{ccc}x-x_1& y-y_1& z-z_1\\ x_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1& z_3-z_1\end{array}|$$ (3). $$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1(4)-$$ р-ня площини у відрізках на осях. Р-ня площини, що проходить через дану точку $$$$ в-ру (напряму): $$\stackrel{}{n}(A,B,C),$$ $$M_0(x_0,y_0,z_0)$$, $$M(x,y,z)\stackrel{}{M_{0}M}\stackrel{}{n}\stackrel{}{M_{0}M}\stackrel{}{n}=0A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0(5)$$. Задані дві площини $$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=\mathrm{0,}{A}_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$$, нормальні в-ри: $$\stackrel{}{n_1}(A_1-B_1-C_1),\stackrel{}{n_2}(A_2-B_2-C_2)$$. Отже, $$\text{cos}=\frac{\stackrel{}{n_1}\stackrel{}{n_2}}{|\stackrel{}{n_1}||\stackrel{}{n_2}|}=\frac{A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}$$. Умова $$$$ площин — $$A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2=0$$. Умова || площин — $$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$$. Відстань $$d$$ від точки $$M_0$$ від площини (П): $$\text{Ax}+\text{By}+\text{Cz}+D=0$$ знах. за ф-лою $$d=\frac{|{\text{Ax}}_0+{\text{By}}_0+{\text{Cz}}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$. Нехай площина П і пряма $$l$$ задані р-ми: $$\text{Ax}+\text{By}+\text{Cz}+D=0$$ і $$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$$. $$-$$ кут між нормальним в-ром $$\stackrel{}{n}=(A-B-C)$$ площини П і напрямним в-ром $$\stackrel{}{s}=(m-n-p)$$ прямої $$l$$. Кут між прямою і площиною: $$\text{sin}=\frac{|\stackrel{}{n}\stackrel{}{s}|}{|\stackrel{}{n}||\stackrel{}{s}|}=\frac{|\text{Am}+\text{Bn}+\text{Cp}|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{m^2+n^2+p^2}}$$. Якщо $$l$$ || П, то $$\stackrel{}{n}\stackrel{}{s}$$, тому $$\stackrel{}{n}\stackrel{}{s}=0$$, тобто $$\text{Am}+\text{Bn}=\text{Cp}=0$$ — умова паралельності прямої і площини. Якщо $$l$$ $$$$ П, $$\stackrel{}{n}$$ || $$\stackrel{}{s}$$, тому $$A/m=B/n=C/p-$$ умова перпендикулярності прямої і площини.

1 Алгебра в-рів. Поняття базису на площині і в просторі. Скаляр., вектор. та мішан. д-ки в-рів.

Будь-яка упорядкована пара точок $$A$$ і $$B$$ простору визначає напрямлений відрізок, або в-р, тобто відрізок, що має певну довжину і напрям. Відстань між початком вектора $$\stackrel{}{a}=\stackrel{}{\text{AB}}$$ і його кінцем називається довжиною (або модулем) в-ра і позначається | $$\stackrel{}{a}$$ | або | $$\stackrel{}{\text{AB}}$$ |. | $$\stackrel{}{a}$$ |=1-одиничний в-р або орт. В-р, початок якого збігається з кінцем, наз. нульовим. В-ри $$\stackrel{}{a}$$ і $$\stackrel{}{b}$$ наз. колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. В-ри $$\stackrel{}{a}$$ і $$\stackrel{}{b}$$ наз. рівними, якщо вони колінеарні, однаково напрямлені і мають рівні довжини. Два в-ри наз. протилежними, якщо вони колінеарні, довжини їх однакові, а напрями протилежні. Три в-ри наз. компланарними, якщо вони лежать в одній площині або в паралельних площинах.

Лінійні дії над векторами:1)Додавання в-рів. Сума $$\stackrel{}{a}$$ + $$\stackrel{}{b}$$ двох векторів $$\stackrel{}{a}$$ і $$\stackrel{}{b}$$ за означенням є вектор $$\stackrel{}{c}$$, напрямлений з поч. в-ра $$\stackrel{}{a}$$ в кінець в-ра $$\stackrel{}{b}$$ за умови, що початок в-ра $$\stackrel{}{b}$$ збігається з кінцем в-ра $$\stackrel{}{a}$$ (правило три-ка) — 2) Віднімання в-рів визначається як дія, обернена додаванню. Різницею $$\stackrel{}{a}$$ — $$\stackrel{}{b}$$ наз. в-р $$\stackrel{}{c}$$, який будучи доданий до вектора $$\stackrel{}{b}$$, дає в-р $$\stackrel{}{a}$$ — 3) Добутком в-ра $$\stackrel{}{a}$$ на число $$t$$ наз. в-р $$\stackrel{}{c}$$, що: 1) | $$\stackrel{}{c}$$ |=| $$t$$ || $$\stackrel{}{a}$$ |- 2) $$\stackrel{}{c}$$ ^^ $$\stackrel{}{a}$$, якщо $$t$$ >0- $$\stackrel{}{c}$$^V $$\stackrel{}{a}$$, якщо $$t$$ <0.

Властивості: 1) $$\stackrel{}{a}$$ + $$\stackrel{}{b}$$ = $$\stackrel{}{b}$$ + $$\stackrel{}{a}$$ (комутативність додавання) — 2) ($$\stackrel{}{a}$$ + $$\stackrel{}{b}$$)+ $$\stackrel{}{c}$$ =($$\stackrel{}{b}$$ + $$\stackrel{}{c}$$)+ $$\stackrel{}{a}$$ (асоціативність відносно додавання в-рів або сполучність) — 3) $$\stackrel{}{a}$$ + $$\stackrel{}{}$$ = $$\stackrel{}{a}$$ ($$\stackrel{}{}$$ -нульовий вектор) — 4) $$\stackrel{}{a}$$ +(- $$\stackrel{}{a}$$)= $$\stackrel{}{}$$ — 5) $$k(l\stackrel{}{a})=(\text{kl})\stackrel{}{a}$$ — 6) (-1) $$\stackrel{}{a}$$ =- $$\stackrel{}{a}$$ — 7) $$t\stackrel{}{}$$ = $$\stackrel{}{}$$ — 8) $$t(\stackrel{}{a}+\stackrel{}{b})=t\stackrel{}{a}+t\stackrel{}{b}$$ (розподільний закон відносно числового множника) — 9) $$(t+k)\stackrel{}{a}=t\stackrel{}{a}+k\stackrel{}{a}$$ (розподільний закон відносно векторного множ-ка).

Лінійна залежність та незалежність в-рів. $$S=\{\stackrel{}{a},\stackrel{}{b},\text{.}\text{.}\text{.},\stackrel{}{p}\text{.}\text{.}\text{.}\}$$. Кажуть, що в-ри $$\stackrel{}{a},\stackrel{}{b},\text{.}\text{.}\text{.},\stackrel{}{p}\text{.}\text{.}\text{.}$$ наз. лінійно незалежними, якщо рівність $$\stackrel{}{a}+\stackrel{}{b}+\text{.}\text{.}\text{.}+\stackrel{}{p}=\stackrel{}{}$$ (*) виконується тільки при нульових коефіцієнтах. Якщо рівність (*) можлива і при деяких не нульових коефіцієнтах, то в-ри наз. лінійно залежними.

Т.1. В-ри $$\stackrel{}{a},\stackrel{}{b},\text{.}\text{.}\text{.},\stackrel{}{p}$$ — лін. зал. тоді і тільки тоді, коли один з них є лінійною комбінацією інших.

Необхідність. Нехай $$\stackrel{}{a},\stackrel{}{b},\text{.}\text{.}\text{.},\stackrel{}{p}$$ -лін. зал. Це означає, що $$\stackrel{}{a}+\stackrel{}{b}+\text{.}\text{.}\text{.}+\stackrel{}{p}=\stackrel{}{}$$ і $$/=0=>\stackrel{}{a}=-\frac{}{}\stackrel{}{b}-\text{.}\text{.}\text{.}-\frac{}{}\stackrel{}{p}$$, отже $$\stackrel{}{a}$$ є лінійною комбінацією інших.

Достатність. Нехай $$\stackrel{}{a}=\stackrel{}{b}+\text{.}\text{.}\text{.}+\stackrel{}{p}$$ $$=>-\stackrel{}{a}+\stackrel{}{b}+\text{.}\text{.}\text{.}+\stackrel{}{p}=\stackrel{}{}$$. Отже, в-ри $$\stackrel{}{a},\stackrel{}{b},\text{.}\text{.}\text{.},\stackrel{}{p}$$ -лін. зал.

Т.2. Якщо с-ма в-рів містить лін. зал. підсистему, то вона лін. зал.

Т.3. Два в-ри лін. зал. тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.

Необхідність. Якщо $$\stackrel{}{a}$$ і $$\stackrel{}{b}$$ -лін. зал. $$=>\stackrel{}{b}=t\stackrel{}{a}$$: якщо $$t$$ >0 $$=>$$ $$\stackrel{}{a}$$ ^^ $$\stackrel{}{b}$$, якщо $$t$$ <0 $$=>$$ $$\stackrel{}{a}$$^V $$\stackrel{}{b}$$ .

Достатність. Якщо $$\stackrel{}{a}$$ і $$\stackrel{}{b}$$ — колінеарні і не дорівнюють нулю, тоді $$\frac{\stackrel{}{a}}{|\stackrel{}{a}|}\pm \frac{\stackrel{}{b}}{|\stackrel{}{b}|}=\stackrel{}{}=>$$ $$\stackrel{}{a}$$ і $$\stackrel{}{b}$$ -лін. зал. («-», якщо $$\stackrel{}{a}$$ ^^ $$\stackrel{}{b}$$, «+», якщо $$\stackrel{}{a}$$^V $$\stackrel{}{b}$$).

Т.4. Якщо с-ма в-рів містить нуль-вектор ($$\stackrel{}{}$$), то вона лін. зал.

$$\stackrel{}{a}$$ = $$\stackrel{}{}$$ — $$\stackrel{}{}+\stackrel{}{b}+\text{.}\text{.}\text{.}+\stackrel{}{p}=\stackrel{}{}$$ ($$=\text{2002},=\mathrm{0,}\text{.}\text{.}\text{.},=0$$).

Множину геометричних векторів наз. векторним простором, якщо вона замкнута відносно операції додавання, віднімання, множення в-рів на число. Замкнута-дані операції не виводять за межі даної множини.

Впорядкована множина в-рів $$B=\{\stackrel{}{a},\stackrel{}{b},\text{.}\text{.}\text{.},\stackrel{}{p}\}$$ наз. базисом векторного простору, якщо: 1) дані в-ри лін. незалежні- 2) будь-який в-р векторного простору виражається через дані в-ри.

Базисом на прямій наз. довільний ненульовий в-р на цій прямій. Базисом на площині наз. довільна упорядкована пара не колінеарних в-рів, а базисом у просторідовільна упорядкована трійка некомпланарних в-рів. В-ри, що складають базис, наз. базисними.

Скалярним добутком (СД) в-рів $$\stackrel{}{a}$$ і $$\stackrel{}{b}$$ наз. число | $$\stackrel{}{a}$$ || $$\stackrel{}{b}$$ | $$\text{cos}=\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}$$ (1), де $$-$$ кут між в-рами $$\stackrel{}{a}$$ і $$\stackrel{}{b}$$. Ця величина є скаляр і має деякі алгебраїчні вл-сті звичайного добутку чисел. Розглянемо вл-сті СД: 1) $$\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}=\stackrel{}{b}\stackrel{}{a}$$ (комутативна вл-сть множення). Дов. За означенням СД $$\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}$$ =| $$\stackrel{}{a}$$ || $$\stackrel{}{b}$$ | $$\text{cos}(\stackrel{}{a},\stackrel{}{b})$$ і $$\stackrel{}{b}\stackrel{}{a}=$$ | $$\stackrel{}{b}$$ || $$\stackrel{}{a}$$ | $$\text{cos}(\stackrel{}{b,}\stackrel{}{a})$$. Оскільки | $$\stackrel{}{a}$$ || $$\stackrel{}{b}$$ |=| $$\stackrel{}{b}$$ || $$\stackrel{}{a}$$ | як добуток чисел і $$\text{cos}(\stackrel{}{a},\stackrel{}{b})$$ = $$\text{cos}(\stackrel{}{b,}\stackrel{}{a})$$, тому що $$(\stackrel{}{a},\stackrel{}{b})$$ = $$(\stackrel{}{b,}\stackrel{}{a})$$, то $$\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}=\stackrel{}{b}\stackrel{}{a}$$. Доведено першу вл-сть.- 2) $$\stackrel{}{a}$$ $$==>$$ $$\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}=0$$ — 3) $$\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}=>$$ $$\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}=0$$ ($$\text{cos}\text{90}\text{°=}0$$), $$\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}=0$$ $$=>=\text{90}°$$ .- 4) $$\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}>0$$ $$$$ -гострий, $$\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}<0$$ $$$$ -тупий- 5) $$\stackrel{}{a}$$ $$\stackrel{}{a}=\stackrel{}{a^2}$$ =(скалярний квадрат)= | $$\stackrel{}{a}$$ || $$\stackrel{}{a}$$ | $$\text{cos}0\text{°=}$$ | $$\stackrel{}{a}$$ | $${}^2$$, | $$\stackrel{}{a}$$ |= $$\sqrt{\stackrel{}{a^2}}$$ — 6) пр $${}_{\stackrel{}{a}}\stackrel{}{b}=\frac{\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}}{|\stackrel{}{a}|}$$ — 7) ($$\stackrel{}{a}$$) $$\stackrel{}{b}=(\stackrel{}{a}\stackrel{}{b})$$ (асоціативна вл-сть множення на число $$$$). Дов. ($$\stackrel{}{a}$$) $$\stackrel{}{b}=$$ | $$\stackrel{}{b}$$ |пр $${}_{\stackrel{}{b}}(\stackrel{}{a})=$$ | $$\stackrel{}{b}$$ |пр $${}_{\stackrel{}{b}}\stackrel{}{a}=(\stackrel{}{a}\stackrel{}{b})$$ .- 8) $$\stackrel{}{a}(\stackrel{}{b}+\stackrel{}{c})=\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}+\stackrel{}{a}\stackrel{}{c}$$ (дистрибутивна вл-сть відносно додавання в-рів). Дов. $$\stackrel{}{a}(\stackrel{}{b}+\stackrel{}{c})=$$ | $$\stackrel{}{a}$$ |пр $${}_{\stackrel{}{a}}(\stackrel{}{b}+\stackrel{}{c})=$$ | $$\stackrel{}{a}$$ |пр $${}_{\stackrel{}{a}}\stackrel{}{b}+$$ | $$\stackrel{}{a}$$ |пр $${}_{\stackrel{}{a}}\stackrel{}{c}=$$ $$\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}+\stackrel{}{a}\stackrel{}{c}$$ .

Векторним добутком в-ра $$\stackrel{}{a}$$ на в-р $$\stackrel{}{b}$$ наз. в-р $$\stackrel{}{c}$$, який визначається такими трьома умовами:

1) довжина в-ра | $$\stackrel{}{c}$$ |=| $$\stackrel{}{a}$$ || $$\stackrel{}{b}$$ | $$\text{sin}(\stackrel{}{a},\stackrel{}{b})$$ — 2) в-р $$\stackrel{}{c}$$ перпендикулярний до кожного з в-рів $$\stackrel{}{a}$$ і $$\stackrel{}{b}$$ — 3) якщо $$\stackrel{}{c}/=0$$, то в-ри $$\stackrel{}{a}$$, $$\stackrel{}{b}$$ і $$\stackrel{}{c}$$ утворюють трійки в-рів { $$\stackrel{}{a}$$, $$\stackrel{}{b}$$, $$\stackrel{}{c}$$ } і { $$\stackrel{}{i},\stackrel{}{j},\stackrel{}{k}$$ }-однаково орієнтовані.

Векторний добуток (ВД)позначають $$\stackrel{}{c}=\stackrel{}{a}x\stackrel{}{b}=[\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}]=[\stackrel{}{a}x\stackrel{}{b}]\text{.}$$ Алгебраїчні вл-ті ВД:

1) Антикомутативність множення $$\stackrel{}{a}x\stackrel{}{b}=-(\stackrel{}{b}x\stackrel{}{a})$$, тобто від перестановки множників ВД змінює знак. Це випливає з того, що в-ри $$\stackrel{}{a}x\stackrel{}{b}$$ і $$\stackrel{}{b}x\stackrel{}{a}$$ мають однакові модулі, колінеарні і трійки в-рів ($$\stackrel{}{a}$$, $$\stackrel{}{b}$$, $$\stackrel{}{a}x\stackrel{}{b}$$) і ($$\stackrel{}{a}$$, $$\stackrel{}{b}$$, $$\stackrel{}{b}x\stackrel{}{a}$$) протилежної орієнтації. 2) Асоціативність відносно скалярного множника $$$$: $$\stackrel{}{a}x\stackrel{}{b}=(\stackrel{}{a}x\stackrel{}{b})-\stackrel{}{a}x\stackrel{}{b}=(\stackrel{}{a}x\stackrel{}{b)}$$. 3) Дистрибутивність відносно додавання в-рів: $$\stackrel{}{a}x(\stackrel{}{b}+\stackrel{}{c})=\stackrel{}{a}x\stackrel{}{b}+\stackrel{}{a}x\stackrel{}{c}$$. Геометричні в-сті ВД: 4) Якщо $$\stackrel{}{a}$$ і $$\stackrel{}{b}$$ колінеарні, то $$\stackrel{}{a}x\stackrel{}{b}$$ = $$\stackrel{}{}$$. Якщо $$\stackrel{}{a}/=\stackrel{}{},\stackrel{}{b}/=\stackrel{}{}$$, $$\stackrel{}{a}x\stackrel{}{b}$$ $$=>$$ $$\stackrel{}{a}$$ і $$\stackrel{}{b}$$ колінеарні.- 5) Модуль | $$\stackrel{}{a}x\stackrel{}{b}$$ | ВД неколінеарних в-рів = площі $$S$$ паралелограма, побудованого на векторах $$\stackrel{}{a}$$ і $$\stackrel{}{b}$$, віднесених до спільного початку, тобто $$S$$ =| $$\stackrel{}{a}x\stackrel{}{b}$$ |- 6) Нехай $$\stackrel{}{a}(a_1,a_2,a_3),\stackrel{}{b}(b_1,b_2,b_3)$$, тоді $$\stackrel{}{a}x\stackrel{}{b}=|\begin{array}{ccc}\stackrel{}{i}& \stackrel{}{j}& \stackrel{}{k}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}|$$ .

Мішаним добутком (МД) в-рів $$\stackrel{}{a}$$, $$\stackrel{}{b}$$, $$\stackrel{}{c}$$ наз. скалярний добуток векторного добутку перших двох на третій: $$(\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}\stackrel{}{c})=[\stackrel{}{a}x\stackrel{}{b}]\stackrel{}{c}$$. Вл-сті МД: 1) Циклічна перестановка в-рів не змінює МД: $$(\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}\stackrel{}{c})=(\stackrel{}{c}\stackrel{}{a}\stackrel{}{b})=(\stackrel{}{b}\stackrel{}{c}\stackrel{}{a})=[\stackrel{}{b}x\stackrel{}{c}]\stackrel{}{a}=\stackrel{}{a}[\stackrel{}{b}x\stackrel{}{c}]$$ — $$2)((t\stackrel{}{a})\stackrel{}{b}\stackrel{}{c})=(\stackrel{}{a}(t\stackrel{}{b})\stackrel{}{c})=(\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}(t\stackrel{}{c}))=t(\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}\stackrel{}{c})$$ — $$3)((\stackrel{}{a_1}+\stackrel{}{a_2})\stackrel{}{b}\stackrel{}{c})=(\stackrel{}{a_1}\stackrel{}{b}\stackrel{}{c})+(\stackrel{}{a_2}\stackrel{}{b}\stackrel{}{c})$$ — $$4)(\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}\stackrel{}{c})=[\stackrel{}{a}x\stackrel{}{b}]\stackrel{}{c}=\underset{\pm H}{\underset{}{\underset{S_{\text{осн}\text{.}}}{\underset{}{|[\stackrel{}{a}x\stackrel{}{b}]|}}|\stackrel{}{c}|}}=\pm V$$ (об'єм паралелепіпеда) — 5) $$(\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}\stackrel{}{c})=0\stackrel{}{a},\stackrel{}{b},\stackrel{}{c}-$$ компланарні- 6) $$V_{\text{піраміди}}=\frac{1}{6}{V}_{\text{паралелепіпеда}}=\frac{1}{6}\text{mod}|\stackrel{}{A_1{A}_2}\stackrel{}{A_1{A}_3}\stackrel{}{A_1{A}_4}|$$, де $$\stackrel{}{A_1{A}_2},\stackrel{}{A_1{A}_3},\stackrel{}{A_1{A}_4}$$

— ребра трикутної піраміди ($$A_1-$$ вершина піріміди).

.

.

.