Побудова перерізу многогранника площиною, що задана прямою та точкою поза нею, або двома паралельними прямими

геометрія графічний площина многогранник Задання січної площини прямою і точкою поза нею, двома прямими, що перетинаються, або двома паралельними прямими рівносильне визначенню цієї площини трьома точками, що не лежать на одній прямій. При цьому, у ряді випадків побудова перерізу полегшується, тому, що ми одразу отримуємо 2−4 вершини многокутника — перерізу.

Розглянемо кілька задач.

ЗАДАЧА 11. Побудувати переріз призми площиною, що проходить через точку М на бічному ребрі і має слід на площині основи пряму р, яка не перетинає основу призми.

Побудова: Нехай маємо (мал.13) зображення призми ABCDA1B1C1D1, а також задану точку М на ребрі ВВ 1 та пряму р на площині A1B1C1D1 причому вона не перетинає ребра основи.

Для побудови перерізу потрібно знайти точки, що належать ребрам АА 1 СС 1 і DD1. У цих точках січна площина має перетинати дані ребра. Міркуємо так: пряма A1B1 є проекцією сторони перерізу на основу. Продовжимо A1B1 до перетину з прямою р у точці Р 1. Пряма МР 1 перетинає ребро АА 1 у точці R. MR — сторона, шуканого перерізу.

Аналогічно будуємо точку N на ребрі СС 1 (Р 2 = В 1С 1 р) (N = ВР 2 МР 2). Продовжимо ребро C1D1 до перетину з прямою р у точці Р 3, а потім проведемо пряму NP3, яка перетинає ребро DD1 у точці К. Отже, точки М, N, К і R належать січній площині і ребрам даної призми.

Таким чином чотирикутник MNKR і є шуканим перерізом.

Мал.13.

ЗАДАЧА 12. Побудувати переріз призми площиною, що проходить через точку М на бічній грані і має слід — пряму р з площиною основи, причому р не перетинає сторін основи призми.

Побудова: Нехай маємо (мал.14) зображення даної призми ABCDA1B1C1D1, а також точку М, що належить грані BB1C1C і пряму р у площині основи, пряма р не має спільних точок із сторонами основи. Шуканий переріз буде перетинати грань BB1C1C по прямій, що проходить через точку М. Знайдемо дві точки цієї прямої на ребрах ВВ 1 та СС 1. Ребро В 1С 1 є проекцією шуканої прямої на площину основи, пряма B1C1 перетинає слід р у точці Р 1, а пряма MP1 має з ребрами BB1 і СС 1 спільні точки — N і К відповідно. Отже, NK — одна із шуканих сторін перерізу. Далі проводимо прямі B1A1 і C1D1 у площині основи до перетину з прямою р у точках Р 2 і Р 3 відповідно. Прямі NP2 та КР 3 перетинають ребра АА 1 та DD1 у точках Т і S відповідно. Таким чином, січна площина перетинає бічні ребра призми по точках N, K, S і Т. Тоді чотирикутник NKST — шуканий переріз.

Мал.14.

ЗАДАЧА 13. Побудувати переріз призми площиною, що проходить через точку М на верхній основі та має слід з нижньою основою — пряму р, яка не перетинає основи призми.

Побудова: Нехай маємо (мал.15) зображення даної призми ABCDA1B1C1D1, яку січна площина перетинає у точці М на верхній основі і по прямій р у площині нижньої основи. Ми повинні знайти всі точки, по яких ця січна площина перетинає ребра призми. Оскільки площини ABCD (яка містить М) і A1B1C1D1 — паралельні грані даної призми, бо є основами призми, то пряма, по якій січна площина перетинає грань ABCD, має проходити через точку М і бути паралельною прямій р (за властивістю паралельних площин). Проведемо її. Вона перетинає ребра АВ і ВС у точках R і К відповідно. Пряма A1B1 є проекцією прямої січної площини, яка проходить через точку R і перетинає ребро АА 1. Продовжимо A1B1 до перетину з слідом р у точці Р 2 і з'єднаємо точки R і Р 2. Пряма P2R перетинає АА 1 у точці S. Аналогічно одержимо точку N на ребрі СС 1. Отже, RS та KN — ще дві сторони шуканого перерізу.

Оскільки січна площина перетинає ребро DD1 у точці, яку ми назвемо Т, то її знайти дуже легко: продовжимо ребро C1D1 до перетину з прямою р у точці Р 3, а потім з'єднаємо точки N і Р 3 Пряма NP3 що лежить у площині грані DCC1D1 перетинає ребро DD1 у шуканій точці Т. Лишилося з'єднати точку Т з точками S і N. Таким чином, п’ятикутник KNTSR — є шуканим перерізом.

Мал.15.

ЗАДАЧА 14. Побудувати переріз куба площиною, що проходить через середини двох сусідніх ребер основи та середину бічного ребра, яке не перетинає прямі, що містять ці ребра основи.

Побудова: Нехай маємо (мал.16) зображення даного куба ABCDA1B1C1D1, січна площина перетинає основу по прямій, що проходить через точки N і М на ребрах АВ і AD відповідно, а ребро СС 1 містить точку К січної площини, яка поділяє ребро навпіл.

Побудову перерізу почнемо з пошуків точок, по яких січна площина перетинає ребра В 1 В і D1D: Проведемо пряму MN у площині нижньої основи. Бачимо, що площина NKM перетинає ребро B1B у точці R (R=KP2 В 1 В, а Р 2 =MN ВС) і ребро DD1, у точці L (CD NM = P1, КР 1 DD1 = L). Отже, п’ятикутник MNRKL — шуканий переріз.

Мал.16.

ЗАДАЧА 15. Побудувати переріз піраміди площиною, що проходить через точку М на бічній грані і має слід з площиною основи — пряму р у площині основи, яка не перетинає сторони основи.

Побудова: Нехай на мал.17 дано зображення піраміди SABC, яку січна площина перетинає у точці М на грані ASB. Відомо також, що січна площина проходить через пряму р на площині основи піраміди, пряма р не має з основою спільних точок.

Міркуємо так: якщо січна площина має спільну точку з гранню ASB, то вона перетинає її по прямій, що проходить через цю точку. А при центральному проектуванні з центром S ця пряма матиме проекцією пряму АВ на площині основи. Тому продовжимо АВ до перетину з слідом р у точці P1 і проведемо пряму MP1, яка перетинає ребра SB і SA у точках К і N відповідно. Аналогічно будуємо точку D на ребрі SC (D = КР 2 SC1, а Р 2 =ВС р). Точки N, К і D є вершинами трикутника NKD — який і є шуканим перерізом.

Мал.17.

ЗАДАЧА 16. Побудувати переріз піраміди площиною, що проходить через точку М на бічному ребрі та має слід з площиною основи — пряму р, що не перетинає сторін основи.

Побудова: Нехай на мал.18 дано зображення чотирикутної піраміди SABCD, точка М на ребрі SA та пряма р на площині основи піраміди, яка не перетинає сторони основи. Для побудови шуканого перерізу, знайдемо точки на ребрах SB, SC та SD. Якщо точка N належить ребру SD, то при внутрішньому центральному проектуванні AD є проекцією MN на площину основи, а точка Р 1, у якій перетинаються пряма AD і слід р, — є спільною точкою прямої MN і площини основи. З'єднаємо точки Р 1 і М, пряма Р 1 М перетинає ребро у точці N. Аналогічно знайдемо точку R на ребрі SC і точку Т на ребрі SB. Чотирикутник MNRT — шуканий переріз.

Мал.18.

Якщо січна площина задана двома паралельними прямими, то її побудова схожа на побудову діагонального перерізу призми (мал.19). Діагоналі основ призми ВС і AD задають площину, що перетинає призму по бічних ребрах АВ і CD, отже, чотирикутник ABCD — паралелограм і є шуканим перерізом.

Мал.19.