Використання поняття визначеного інтегралу в економіці

Реферат на тему:

Використання поняття визначеного інтегралу.

в економіці.

1. Визначення загального обсягу випущеної продукції.

Нехай деяка фірма випускає один вид продукції, використовуючи один ресурс. Виробнича функція фірми має вигляд q=q (x), де x — затрати ресурсу, а q — обсяг випуску. Затрати ресурсу x є функцією від часу t, наприклад, x=x (t).

Тоді загальний обсяг продукції Q за час від T0 до T1 обчислюється за допомогою визначеного інтегралу.

.

x (t)=100e0,2t, T0=0 та T1=5 (років) загальний обсяг випущеної за п’ять років продукції.

2. Визначення коефіцієнта Джинні.

Нехай y=y (x) — частка (доля) приватного капіталу деякої країни, яка перебуває у власності групи людей, що становлять частку (долю) x населення цієї країни.

Наприклад, у тому випадку, коли 30% населення володіє 10% капіталу, 60% населеня 35% капіталу, і 85% 60% капіталу, маємо таке:

y (0,3)=0,1;

y (0,6)=0,35;

y (0,85)=0,6.

Очевидно, що завжди y (0)=0 та y (1)=1.

На рис. 7.6 зображена відповідна крива (крива Лоренца).

y.

0,6.

0,1.

x.

0,3 0,85 1.

Рис. 7.6.

Очевидно, що у разі абсолютно рівномірного розподілу багатства в країні крива Лоренца є бісектрисою прямого кута (прямою y = x). Зі збільшенням нерівності збільшується площа між кривою y=y (x) та прямою y = x. Числове значення цієї площі K (0.

.Знайти коефіцієнт Джинні цієї країни.

Для кривої Лоренца y=x2 маємо такий коефіцієнт Джинні:

.

3. Обчислення дисконтованого значення грошових потоків Як відомо з теми 3, теперішню вартість майбутніх грошей обчислюють за формулою.

.

де r — ставка відсотка.

Останню формулу для невеликих значень можна записати у вигляді.

.

оскільки ln (1+r)(r (справді, ln1,03=0,0296; ln1,05=0,0488; ln1,08=0,077).

Нехай деяка фірма здійснює потік інвестицій FV1, FV2,…, FVn в моменти часу t1, t2,…, tn=T. Тоді дисконтована (чиста) теперішня вартість NPV потоку інвестицій представляє собою суму.

У тому випадку, коли окремі інвестиції роблять невеликими порціями досить часто (всі (i =ti-ti-1 -малі, де t0=0; i=1,…, n), NPV можна вважати інтегральною сумою, яка в неперервному випадку (n ((; всі (i (0; послідовність значень FV1=FV (t1), FV2=FV (t2),…, FVn=FV (T) описує деяка функція FV (t), 0(t (T) перетворюється в інтеграл.

.

Приклад. Нехай потік інвестицій задає функція FV (t)=100−10t. Ставка відсотка r=10% (r=0,1). Довжина періоду інвестування T=5 (років). Визначити дисконтовану теперішню вартість потоку (рис. 7.7,б):

Для порівняння визначимо недисконтовану вартість цього потоку (рис 7.7,а):

.

100 100.

(5;50).

(5;30,3).

5 5.

а б.

Рис. 7.7.

4. Розрахунок надлишку виробника та надлишку споживача З курсу мікроекономіки відомо, що в умовах досконалої конкуренції ринкова (рівноважна) ціна на кожен товар відповідає точці перетину кривої попиту D=D (Q) та кривої пропозиції S=S (Q) (рис. 7.8).

$.

&.

(.

-.

¾.

A.

a.

a.

ae.

ae.

o.

oe.

-.

i.

>

>

J.

L.

N.

P.

R.

T.

V.

x1600xD268xA36Bx5500×0108×486DЉx4873Љx031Fx2D6A$x1600xD268xA36Bx4300×144Ax4500xE448×55FFx0108×486DЉx4873Љx3200 на ринку весь товар реально продають за ціною P (, деяка i-та (i=1,…, n) частина споживачів згідна була б купити свою частку товару (Q (i, заплативши і дещо вищу ціну Pi>P ((щоправда, за ціни Pi всього буде продано тільки Qi одиниць товару). Отже, кожна i-та частина споживачів завдяки ринковому механізмові виграє в ціні на (Pi-P ()(Q (i. Вважаючи, що за деякої досить високої ціни P0(товар не купуватимуть взагалі, маємо такий загальний виграш (надлишок) усіх споживачів:

.

де i=1 відповідає ціні P0(, а i=n — ціні P (.

Очевидно, що в неперервному випадку надлишок (виграш) споживачів дорівнює площі S1 фігури P0(E P ((рис. 7.8).

Кожна точка (Q;P) на кривій пропозиції визначає кількість товару Q, яка була б продана на ринку за ціни P. Оскільки деяка j-та (j=1,…, m) частина виробників згідна виробляти та постачати на ринок частку товару (Qj і за ціни Pj.

.

тобто площі S2 фігури P (EP (0 (див. рис. 7.8).

P (ціна).

P (0 S (Пропозиція).

Pi S1.

P (S2 E D (Попит).

P (0.

Q (Кількість).

Q0 Qi (Qi Q (.

Рис. 7.8.

Приклад. В умовах досконалої конкуренції крива попиту має вигляд D (Q)=(Q-10)2+200, а крива пропозиції - S (Q)=Q2+100. Знайти загальний надлишок споживача та загальний надлишок виробника, якщо максимальна ціна споживача — 225 одиниць, а виробника — 125 одиниць.

Точку рівноваги знаходимо з рівняння.

D (Q)= S (Q);

(Q-10)2+200=Q2+100;

Q (=10;

P (=200.

Цінам P0(=225 та P0(=125 відповідає мінімальна кількість товару в обсязі Q0=5.

Надлишок (виграш) споживача дорівнює площі фігури S1, тобто його обчисдюють за допомогою визначеного інтеграла.

.

Надлишок (виграш) виробника дорівнює площі фігури S2, тобто знаходиться зи допомогою визначеного інтеграла.

.

5. Дослідження функцій густини розподілу ймовірностей.

де f (x) — диференціальна функція (функція густини) розподілу ймовірностей величини x.

Знайдемо невласні інтеграли від деяких таких функцій.

дорівнює.

.

дорівнює.

.

.

За допомогою спеціальних методів можна показати, що.

;

.

1/(b-a).

а б в.

Рис. 7.9.

Ці інтеграли широко застосовуються в курсі «Економетрія».