Программа оптимізації ризикового портфеля

На фінансовому ринку обертається безліч цінних паперів: державні цінних паперів, муніципальні облігації, корпоративні акції та т.д. Якщо в учасника ринку є вільні гроші, їх можна віднести до банку та отримувати відсотки чи купити ними цінні папери отримувати додатковий прибуток. Однак у який банк віднести? Які цінних паперів купити? Малорисковые цінних паперів, зазвичай, і малодоходны, високоприбуткові, зазвичай, більш ризикові. Економічна наука може дати деякі рекомендації на вирішення цього вопроса.

Постановка задачи.

Розглянемо спільне завдання розподілу капіталу, який учасник ринку хоче витратити для придбання цінних паперів, з різного виду цінних паперів. Розпочинаючи точні математичні постановки, констатуємо очевидну спільну мету інвестора — укласти гроші те щоб зберегти свій капітал, а за можливості й наростити его.

Набір цінних паперів, утримуваних учасника ринку, називається його портфелем. Вартість портфеля — це сумарна вартість складових його паперів. І сьогодні його є Р, а ще через рік дорівнюватиме Рг, то (Р,-Р)/Р природно назвати дохідністю портфеля у відсотках річних. Тобто. дохідність портфеля — це дохідність на одиницю його стоимости.

Нехай хi — частка капіталу, витрачена для придбання цінних паперів i-го виду. Розмірковування про частках еквівалентні з того що весь виділений капітал приймається за одиницю. Нехай di — дохідність інвестицій у відсотках річних цінних паперів i-го виду для одну грошову одиницю.

Знайдемо доходність усього портфеля dp. З одного боку, за рік капітал портфеля дорівнюватиме 1+ dp, з іншого — вартість паперів i-го виду збільшитися з x до xi + di*xi, отже сумарна вартість портфеля дорівнюватиме, xi + +xi*di = 1 + xi*di. Прирівнюючи обидва висловлювання для вартості портфеля, отримуємо dp = =xi*di.

Отже, завдання збільшення капіталу портфеля еквівалентна аналогічної завданню про дохідності портфеля, вираженої через дохідності паперів та його доли.

Зазвичай, дохідність паперів коливається у часі, отже вважатимемо її випадкової величиною. Нехай mi, i — середня очікувана дохідність та середнє квадратическое відхилення (СКО) цієї випадкової дохідності, тобто. mi=M[di] - математичне очікування дохідності і ri==Vii, де Vii — варіація чи дисперсія i-ой дохідності. Будемо називати mi, ri відповідно ефективністю і ризиком i-ой цінних паперів. Через Vij позначимо ковариацию доходностей цінних паперів i-го і j-го виду (чи кореляційний момент Kij).

Оскільки дохідність складових портфель цінних паперів випадкова, те й дохідність портфеля є й випадкова величина. Математическте очікування дохідності портфеля є M[dp]=x1*M[d1]+…+xn*M[dn]==xi*mi позначимо його через mp. Дисперсія дохідності портфеля є D[dp]=]]xi*xj*Vij. Також, як й у цінних паперів, назвемо mp ефективністю портфеля, а величину пp==D[dp] - ризиком портфеля rp. Зазвичай дисперсія дохідності портфеля називається його варіацією Vp.

Отже, ефективність яких і ризик портфеля виражені через ефективності складових його цінних паперів та його спільні ковариации.

Портфель Марковица мінімального риска.

Є кілька варіантів завдань оптимізації ризикового портфеля. Ми розглянемо тільки один. Це правда званий «портфель Марковица». Це було сформульована і вирішена американським економістом Р. Марковицем (H. Markovitz) в 1952 року, внаслідок чого пізніше він отримав нобелівську премію.

Нехай є n видів цінних паперів, у тому числі інвестор хоче сформувати портфель. Необхідно відшукати xi, що мінімізують варіацію портфеля.

Vp=== xi*xj*Vij.

за умови, що забезпечується заданий значення ефективності портфеля mp, тобто. xi*mi=mp.

Оскільки xi — частки, то сумі вони мають складати одиницю: :xi=1.

Залишивши за інвестором вибір середньої ефективності портфеля і допомагаючи йому мінімізувати у разі невизначеність, отримуємо таку завдання з оптимізації портфеля цінних бумаг:

min mm xi*xj*Vij.

ixi=1.

mi*xi=mp.

xi?0,…, xn?0.

Це квадратичного програмування. Опустив умови неотрицательности змінних, отримуємо власне завдання Марковица.

Решение.

З допомогою функції Лагранжа зведемо завдання на умовний екстремум до завданню на безумовний экстремум:

L (x1,…, xn,)=)) Vij*xi*xj — *(*mi -1) — *(*mi*xi — mp),.

L/Lxs=2*=Vis*xi — - - *ms=0, s=1,…, n. (*).

похідні по про, відтворюють вищезазначені два співвідношення, цим для (n+2) змінних x1,…, xn,, отримуємо (n+2) уравнения.

Запишемо отримані рівняння в матричної формі, використовуючи такі обозначения:

1 x1 m1.

e=. x=. m=. x =(x1,…, xn), mm=(m1,…, mn).

.. .

1 xn mn.

Штрих застосовується для позначення операції транспонування матриці.

Bматриця ковариаций, B-1 — зворотна їй матриця. Отже рівняння (*) приймуть вид:

B*x = ((/2)*e + ((/2)*m,.

ee*x = 1,.

mm*x = mp.

Основне припущення цієї моделі у тому, що эффективностями m1,…, mn немає лінійної зв’язку, тому ковариационная матриця B невырождена (|B|0), отже, існує зворотна матриця В-1. Використовуючи цього факту дозволимо в матричної формі щодо х:

x = (х/2)*В-1*е + (е/2)* В-1*m, (**).

підставивши це рішення, у друге умови, одержимо два рівняння визначення /2 і //2:

(ее*В-1*е)**/2 + (ее*В-1*m)**/2 =1.

(m (*B-1*e)**/2 + (m (*В-1*m)**/2 =mp.

Вирішуючи останні двоє рівняння за правилом Крамера, находим.

/2 = ((m (*В-1*m)-mp*(ее*В-1*m))/((ее*В-1*е)*(mm*В-1*m)-(mm*B-1*e)2).

/2 = (mp*(ее*В-1*е)-(mm*B-1*e))/((ее*В-1*е)*(mm*В-1*m)-(mm*B-1*e)2).

Підставляючи це рішення, у (**) отримуємо таку структуру оптимального портфеля:

[(mm*В-1*m)-mp*(ее*В-1*m)]*В-1*е + [mp*(ее*В-1*е) — (mm*B-1*e)]*В-1*m.

x* =.

(ее*В-1*е)*(mm*В-1*m) — (mm*B-1*e)2.

Простий підстановкою переконуємося, що е *х*=1 і mm*х*=mp.

З іншого боку, знаходимо мінімальну дисперсию, відповідну оптимальної структуре:

[m2p*(ее*В-1*е) — 2*mp*(mm*B-1*e) + (mm*В-1*m)].

D*p=.

[(ее*В-1*е)*(mm*В-1*m) — (mm*B-1*e)2].

Тоді Т*p== D*p, що є мінімальним ризиком портфеля.

Якщо x*i?0, це означатиме рекомендацію вкласти частку x*i готівкового капіталу цінних паперів i-го виду. Якщо ж x*i.

Що за операція? Інвестор, яка формує портфель, зобов’язується згодом поставити цінних паперів i-го виду (разом із доходом, якій вони принесли та їхні власнику цей час). Про це тепер він отримує грошовому еквівалентові. Ці кошти він приєднує до свого капіталу і купує рекомендовані оптимальним розв’язанням цінних паперів. Оскільки цінних паперів інших напрямів (тобто. не i-го виду) ефективніші, то інвестор перебувають у виграші.

Математично війни операція отже, що потрібно виключити цей вид цінних паперів з розгляду і вирішити завдання заново.

Пример.

Дано: m1=11, 1=4, m2=10, 2=3, m3=9, 3=1, цінних паперів не коррелированы. Визначити оптимальний портфель при mp=10.

Відповідь: Долі цінних паперів x1=0,3396; x2=0,3208; x3=0,3396. Мінімальний ризик йp=1,699. Ефект диверсифікації портфеля наочно видно цьому прикладі. Портфель має ті ж самі ефективність, коли б він підготували тільки з паперів 2-го виду, та його ризик значно менше, ніж в паперів 2-го виду (1,699 < 3).>

Программа.

Далі приведено програма, яка розраховує структуру портфеля при заданої ефективності та її мінімальний риск.

program riski;

uses crt;

type mas=array[1.10] of real;

mas2=array[1.10,1.10] of real;

var a: real;

m, be, bm: mas;

B, E, b1,e1:mas2;

i, k, c, v, l, j, n:integer;

mp, ebe, mbm, ebm, x, mbe:real;

procedure base;

begin.

for i:=1 to n do {звернення матриці B}.

begin.

for c:=1 to n do{дублирование матриц}.

begin.

for v:=1 to n do.

begin.

B1[c, v]: =B[c, v];

e1[c, v]: =e[c, v];

end;

end;

for k:=1 to n do.

begin.

B[i, k]: =B1[i, k]/b1[i, i]; {ділимо рядки на що дозволяє элемент}.

E[i, k]: =E1[i, k]/b1[i, i];for l:=1 to n do.

begin {знаходимо інші элементы}.

if li then.

begin.

B[l, k]: =(B1[l, k]-(B1[l, i]*B1[i, k]/B1[i, i]));

E[l, k]: =(E1[l, k]-(B1[l, i]*E1[i, k]/B1[i, i]));

end;

end;

end;

end;

for i:=1 to n do {підсумовування по рядкам, формування вектора-столбца Be}.

begin.

for j:=1 to n do.

begin.

be[i]: =be[i]+e[i, j];

end;

end;

for i:=1 to n do {формування вектора-столбца Bm}.

begin.

for j:=1 to n do.

begin.

Bm[i]: =Bm[i]+m[j]*e[i, j];

end;

end;

for i:=1 to n do.

begin {перебування констант}.

ebe:=ebe+be[i]; {підсумовування по стоблцу}.

ebm:=ebm+bm[i];

mbm:=mbm+m[i]*bm[i];

mbe:=mbe+m[i]*be[i];

end;

end;

procedure vvod ;

label out1, out2, out3, out4, out5;

var z: real; mi, ma: real;

begin.

writeln;

writeln («КУРСОВОЙ ПРОЕКТ »);

writeln;

writeln;

writeln («ПО ДИСЦИПЛІНИ МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ ФІНАНСОВО-ЕКОНОМІЧНОГО АНАЛІЗУ »);

writeln;

writeln («АВТОР: БОЛДІН СЕРГІЙ, ФИНМЕН II-3. »);

writeln;

writeln («ТЕМА: ЗАВДАННЯ ОПТИМІЗАЦІЇ РИЗИКОВОГО ПОРТФЕЛЯ. »);

writeln;

writeln;

writeln;

out1:

writeln;

writeln («Запровадьте кількість видів цінних паперів, у тому числі собі хочете »);

write («сформувати портфель (трохи більше 10): »);

readln (n);

if (nint (n)) or (n>10) then.

begin.

writeln («Помилка введення! Кількість має бути натуральним і від 10 ! »);

goto out1;

end;

writeln;

writeln («Запровадьте ефективності (дохідності) цінних паперів: »);

for i:=1 to n do.

begin.

E[i, i]: =1;

out2:

write («» ,і, «-ого виду: »);

readln (m[i]);

if (m[i].

begin.

writeln («Помилка введення! Кількість має бути позитивним! »);

goto out2;

end;

end;

writeln;

writeln («!!! При введення ризиків і спільних варіацій цінних паперів слід »);

writeln («бути уважним, оскільки програма не расчитана на лінійну »);

writeln («зв'язок доходностей цінних паперів. Тому рекомендується не вводити »);

writeln («пропорційні ризики та спільні варіації цінних паперів!!! »);

writeln;

writeln («Запровадьте ризик (середнє квадратическое отклонение (СКО)) цінних паперів: »);

for i:=1 to n do.

begin.

out3:

write («» ,і, «-ого виду: »);

readln (z);

if (z.

begin.

writeln («Помилка введення! Кількість має бути позитивним! »);

goto out3;

end;

b[i, i]: =z*z;

end;

writeln;

writeln («Запровадьте спільну варіацію (кореляційний момент) цінних паперів. »);

writeln («Вона повинна бути більше твори СКО цих паперів. »);

for i:=1 to n do.

begin.

for j:=i+1 to n do {введення матриці ковариаций}.

begin.

out4:

write («» ,і, «-го і «, j, «-го виду: »);

readln (z);

if abs (z)>=sqrt (b[i, i])*sqrt (b[j, j]) then.

begin.

writeln («Помилка введення! Кількість має бути позитивним і від твори СКО цих паперів! »);

goto out4;

end;

b[i, j]: =z;

b[j, i]: =z;

if ij then begin E[i, j]: =0; end;

end;

end;

writeln;

ma:=0;

for i:=1 to n do.

begin.

if m[i]>ma then ma:=m[i];

end;

mi:=100 000 000;

for i:=1 to n do.

begin.

if m[i].

end;

writeln («Запровадьте бажану ефективність портфеля. »);

write («Вона має бути, у межах эффективностей цінних паперів: »);

out5:

readln (mp);

if (mpma) then.

begin.

writeln («Помилка введення! »);

write («Кількість має бути, у межах эффективностей цінних паперів!: »);

goto out5;

end;

end;

procedure vivod ;

begin.

writeln;

writeln («Структура портфеля. Долі цінних паперів. »);

for i:=1 to n do.

begin.

x:=((mbm-mp*ebm)*be[i]+(mp*ebe-mbe)*bm[i])/(ebe*mbm-mbe*mbe);

writeln («» ,і, «-го виду: », x:6:5);

if x.

begin.

writeln («Оскільки частка паперів » ,і, «-го виду негативною, необхідно »);

writeln («провести угоду „short sale “, виключити папери цього виду з портфеля »);

writeln («і вирішити завдання наново. »);

end;

end;

writeln;

writeln («Мінімальний ризик портфеля: », sqrt ((mp*mp*ebe-2*mp*mbe+mbm)/(ebe*mbm-mbe*mbe)):6:5);

end;

begin.

clrscr;

textcolor (yellow);

textbackground (blue);

vvod;

base;

vivod;

readln;

end.

1. Колемаев В. А. Математична економіка. М.: «Юнити» 1998.

2. Малыхин В.І. Фінансова математика. М.: «Юнити» 2000.