Решітки

Реферат на тему:

Решітки.

Серед частково впорядкованих множин винятково важливу роль відіграють так звані решітки або структури.

Точною верхньою гранню підмножини A частково впорядкованої множини M (позначається supA) називають найменшу з верхніх граней підмножини A. Відповідно, точною нижньою гранню підмножини A частково впорядкованої множини M (позначається infA) називають найбільшу з нижніх граней підмножини A.

Частково впорядкована множина M називається решіткою (структурою), якщо для будь-якої пари елементів a, b (M (тобто для будь-якої двоелементної підмножини множини M) існують sup{a, b} і inf{a, b}.

Приклад 1. 1. Будь-яка лінійно впорядкована множина M (наприклад, числові множини N, Z, Q і R з традиційними відношеннями порядку) є решіткою. Якщо a, b (M, то sup{a, b} = max (a, b) і inf{a, b} = min (a, b).

2. Розглянемо множину N натуральних чисел з відношенням часткового порядку «ділить ». Для a, b (N означимо sup{a, b} = НСК (a, b) і inf{a, b) = НСД (a, b) (НСК — найменше спільне кратне, НСД — найбільший спільний дільник). Тоді sup{12,32 }=96, inf{12,32}= 4, inf{16,27}=1.

3. Частково впорядкована за відношенням включення множина ((M) всіх підмножин множини M є решіткою: sup{A, B}=A (B і inf{A, B}= A (B, A, B (M.

4. Розглянемо множину R кортежів дійсних чисел довжини n з відношенням часткового порядку, означеним у прикладі 1.17(4), тобто (a1,a2,…, an)((b1,b2,…, bn) тоді і тільки тоді, коли ai (bi, i=1,2,…n. Частково впорядкована у такий спосіб множина R є решіткою: sup{(a1,a2,…, an); INSERT INTO `ref` (`id_predmet`, `name_predmet`, `id_ref`, `name_ref`, `text_ref`) VALUES (b1,b2,…, bn)}=(c1,c2,…, cn), де ci = max (ai, bi), i=1,2,…n, а inf{(a1,a2,…, an); INSERT INTO `ref` (`id_predmet`, `name_predmet`, `id_ref`, `name_ref`, `text_ref`) VALUES (b1,b2,…, bn)} = (d1,d2,…, dn), де di = min (ai, bi), i=1,2,…, n.

Аналогічно можуть бути перетворені на решітки множини кортежів Nn, Zn, Qn і Bn, де B = {0,1 } - множина двійкових цифр.

Множина P = {R1,R2,…, Rm} всіх можливих розбиттів деякої скінченної множини M може бути перетворена в решітку в такий спосіб. Вважаємо, що розбиття Ri={Ai1,Ai2,…, Aik} і Rj={Aj1,Aj2,…, Ajk} знаходиться у відношенні Ri < Rj, якщо кожен клас Ait, t=1,2,…, k розбиття Ri міститься в деякому класі Ajt розбиття Rj. Наприклад, для M ={1,2,3,4,5} розбиття R «={{1,2},{3},{4,5}} менше розбиття R «» ={{1,2,3},{4,5}} і менше розбиття R «» «={{1,2},{3,4,5}}, а розбиття R «» і R «» «непорівнювані.

Мінімальним елементом частково впорядкованої множини P є розбиття { {a} | a (M}, а максимальним елементом — {M}. Тоді sup{Ri, Rj} = Rk, де Rk — розбиття, в якому елементи a, b (M входять в один клас тоді і тільки тоді, коли існує такий c (M, що кожна з пар елементів a і c та c і b належить одному класу або в Ri, або в Rj; inf{Ri, Rj} = Rl, де Rl — розбиття, в якому елементи a, b (M належать одному класу тоді і тільки тоді, коли вони належать одному класу і в Ri, і в Rj.

Наприклад,.

sup{R «», R «» «} = {{1,2,3,4,5}}, sup{R », R «» } = {{1,2,3},{4, 5}},.

inf{R «», R «» «} = {{1,2},{3},{4,5}}, inf{R », R «» } = {{1,2},{3},{4,5}}.

Оскільки за теоремою 1.10 існує взаємно одозначна відповідність між усіма розбиттями даної множини M і всіма відношеннями еквівалентності на M, то множина всіх відношень еквівалентності на M може бути перетворена в решітку.

J.

L.

x0152.

x017D.

x00A8.

x00B8.

¼.

x00D0.

>

z.

|.

x20AC.

P.

x20AC.

‚.

†.

x02C6.

x017D.

ue.

th.

: (c і c (b. Стрілки (петлі), що відповідають діагональним парам (a, a) не проводимо.

Приклад 2. 1. На рис. 1.6 зображено діаграми для чотирьох частково впорядкованих множин:

а) множини двійкових кортежів B3;

б) булеана ((M) множини M = {a, b, c} з відношенням включення (;

в) множини натуральних чисел C={2,5,7,10,28,70} з відношенням «ділить » ;

г) множини D={a, b, c, d} з відношенням часткового порядку R={(a, a); INSERT INTO `ref` (`id_predmet`, `name_predmet`, `id_ref`, `name_ref`, `text_ref`) VALUES (b, b); INSERT INTO `ref` (`id_predmet`, `name_predmet`, `id_ref`, `name_ref`, `text_ref`) VALUES (c, c), (d, d); INSERT INTO `ref` (`id_predmet`, `name_predmet`, `id_ref`, `name_ref`, `text_ref`) VALUES (a, c); INSERT INTO `ref` (`id_predmet`, `name_predmet`, `id_ref`, `name_ref`, `text_ref`) VALUES (b, c); INSERT INTO `ref` (`id_predmet`, `name_predmet`, `id_ref`, `name_ref`, `text_ref`) VALUES (a, d), (b, d)}.

а) б) в) г) Рис. 1.

Діаграма будь-якої скінченної лінійно впорядкованої множини M={a1,a2,…, an}, ai (ai+1, i=1,2,…, n-1 має вигляд.

a1 a2 a3 an-1 an.

Неважко переконатись, що a (b, a, b (M тоді і тільки тоді, коли в діаграмі частково впорядкованої множини M існує складений зі стрілок шлях, що веде з вершини a у вершину b. Верхня грань для {a, b} - це елемент, в який ведуть шляхи з a і з b. Нижня грань {a, b} - це елемент, з якого існують шляхи і в a, і в b.

Частково впорядкована множина не є решіткою тоді, коли.

1) деяка пара елементів не має верхньої або нижньої грані;

2) для деякої пари елементів найменша верхня (або найбільша нижня) грань не існує.

Наприклад, перші дві множини B і ((M) з прикладу 1. є решітками, тому що для їхніх діаграм не виконується жодна з наведених умов. Множина C не є решіткою, оскільки, наприклад, для пар {2,5}, {5,7}, {7,10} не існують нижні грані, а пари {10, 28} і { 28,70} не мають верхніх граней. Пара елементів {a, b} ({c, d}) множини D має дві верхні (дві нижні) грані c і d (відповідно a і b), однак не має найменшої верхньої (найбільшої нижньої) грані, оскільки елементи c і d (a і b) непорівнювані між собою.

Частково впорядкована множина M називається повною решіткою, якщо для будь-якої непорожньої підмножини A (M в множині M існують найменша верхня грань sup A і найбільша нижня грань inf A. Очевидно, що довільна повна решітка є решіткою, але не будь-яка решітка є повною решіткою. Якщо M — повна решітка, то найменша верхня грань усієї множини M (sup M) називається одиницею даної решітки і позначається 1, а найбільша нижня грань множини M (inf M) називається нулем решітки і позначається 0. Вибір цих назв для sup M і inf M пояснюється такими властивостями елементів 1 і 0.

Для довільного елемента a (M виконується.

sup {1,a} = 1, sup {0,a} = a, a (1,.

inf {1,a} = a, inf {0,a} = 0, a (0. (1.).

Очевидно, що елементи 0 і 1 є відповідно найменшим і найбільшим елементами повної решітки M.

Приклад 1.21. 1. Решітки B, ((M) і P з прикладу 1.19 є повними решітками. Одиницями цих решіток будуть відповідно (1,1,1), M і {M}, а нулями — (0,0,0), (і { {a} | a (M }.

2. Множина N натуральних чисел не є повною решіткою, оскільки будь-яка її нескінченна підмножина на має найменшої верхньої грані.

Множина всіх дільників натурального числа n, частково впорядкована за відношенням «ділить », є повною решіткою. Одиницею в такій решітці є число n, а нулем — число 1.

(0,0,0).

(0,1,0).

(0,0,1).

(1,0,0).

(1,1,0).

(1,0,1).

(0,1,1).

(1,1,1).

(.

{b}.

{c}.

{a}.

{a, b}.

{a, c}.

{b, c}.

{a, b, c}.

a.

b.

c.

d.