Средства візуалізації зображень у комп'ютерній томографії та на цифрових рентгенографических системах

року міністерство освіти Російської Федерации.

Володимирський Державний Университет.

Кафедра БМИ.

РЕФЕРАТ.

на тему:

«Кошти візуалізації зображень у комп’ютерній томографії та на цифрових рентгенографических системах».

з дисципліни: Комп’ютерні технологии.

Володимир 2002.

1.

ВВЕДЕНИЕ

.

Давня латинська приказка говорить: «Diagnosis cetra — ullae therapiae fundamentum» («Достовірний діагноз — основа будь-якого лікування»). Упродовж багатьох століть зусилля лікарів були спрямовані влади на рішення важкої завдання — поліпшення розпізнавання захворювань человека.

Потреба методі, який дозволило б зазирнути всередину людського тіла, не пошкоджуючи його, була величезною, хоча й завжди усвідомленої. Адже всі відомості, що стосуються нормальної роботи і патологічної анатомії людини, виникли лише з вивченні трупів. Потому, як у Європі стали широко вивчатися розтину трупів, лікарі змогли вивчити будова органів людини, і навіть зміни, що вони перетерплюють при тих чи інших заболеваниях.

Яку величезну користь приніс б безпосередній огляд організму людини, якщо він став раптом «прозорим»! І навряд хтось із учених минулого міг припустити, що ця мрія цілком осуществима.

Потреба побачити не оболонку, а структуру організму живого людини, його анатомію і фізіологію був такий насущної, що, коли чудові промені, дозволяли досягти цього практично, були нарешті відкриті, зазвичай консервативні і найчастіше недовірливі до нововведень лікарі майже зразу й зрозуміли, що у медицині настала нова эра.

Вже у перші дні і тижні, після того, як набув розголосу існування і властивості цих променів, лікарі різних країн почали застосовувати їх задля дослідження найважливіших органів прокуратури та систем людського тіла. Протягом першого ж року з’явилися сотні наукових повідомлень в друку, присвячених результатам таких исследований.

Кількість повідомлень у наступні роки наростало. З’ясовувалися все нові можливості рентгенологічного методу. З’явилися перші книжки, присвячені цьому методу. Невдовзі ця література стала необозримой.

У 1946 р. відомий радянський клініцист і організатор охорони здоров’я М. М. Пріоров на засіданні, присвяченому 50-річчю рентгенології, говорив: «Що сталося сьогодні з физиатрией і урологией, гинекологией і отоларингологией, неврологією і онкологией, хірургією і ортопедией, офтальмологией і травматологией, якби позбавити те, що дала рентгенологія у сфері діагностику і лечения?».

Але процес науку й техніки нестримний. Щойно лікарі повністю освоїти можливості рентгенівських променів у діагностиці, як з’явилися інші методи, які дозволяють одержати зображення внутрішніх органів людини, що доповнюють дані рентгенологічного дослідження. До них ставляться радіонуклідне і ультразвукове дослідження (УЗД), теплобачення, ядерно-магнітний резонанс (ЯМР), фотонна емісія і пояснюються деякі інші методи, ще набули распространения.

Ці засоби засновані на використанні близьких за своєю природою хвильових коливань, в просуванні яких тканини людського тіла не є нездоланною перешкодою. Вони об'єднуються і тих, що у результаті взаємодії хвильових коливань з органами і тканинами організму в різних приймачах — екрані, плівці, папері та ін. — виникають їх зображення, розшифровка яких дозволяє будувати висновки про стані різних анатомічних образований.

Такими чином, окреслені методи принципово близькі рентгенодиагностике як у своїй — природі, і характером кінцевого результату їх применения.

Впровадження у тих методів (поруч із рентгенологией) призвело до виникненню нової великої медичної дисципліни, що отримала там назва діагностичної радіології (від латинського radius — промінь), а й у нас — променевої диагностики.

Можливості цієї дисципліни в розпізнаванні захворювань людини дуже великі. Їй доступні майже всі органи влади та системи людини, все анатомічні освіти, розміри яких перевищує микроскопических.

На відміну від класичних медичних методик (пальпації, перкусії, аускультації) основним аналізатором інформації, одержуваної способами променевої діагностики, є орган зору, з якого ми отримуємо близько 90 відсотків% відомостей про світ, до того ж найбільш достовірних. Коли широка мережу медичних закладів буде оснащена високоякісної апаратурою, що дозволяє використати всі можливості променевої діагностики, а лікарі, працюють у цих установах, будуть навчені поводження з цим складним апаратурою і, повноцінної розшифровці одержуваних з її допомогою зображень, діагностика основних захворювань людини стане більш ранньої діагностики та достовірної у великих науководослідницьких мереж і клінічних центрах, а й у передовому краї нашого охорони здоров’я — у поліклініках і районних лікарнях. У цих установах працює переважна більшість лікарів. Саме сюди звертається переважна більшість хворих у разі виникнення будь-яких тривожних симптомів. Від рівня роботи саме цих лікувально-діагностичних установ зрештою залежить рання і своєчасна діагностика, а отже то і результати лікування основної маси хвороб. [ № 1, стор. 3−6].

1.1. Розвиток комп’ютерної томографии.

Винахід рентгенівської томографії з обробкою одержуваної інформації на ЕОМ справило переворот у сфері отримання зображення на медицині. Вперше повідомив про новий методі інженер G. Hounsfield (1972). Апарат, виготовлений і випробуваний групою інженерів англійської фірми «EMI», отримав назву ЭМИ-сканера. Його застосовували лише дослідження головного мозга.

G.Hounsfield у своїй апараті використовував кристалічний детектор з фотоэлектронным примножувачем (ФЭУ), проте джерелом була трубка, жорстко що з детектором, яка робила спочатку поступальний, та був обертальне (1?) рух при постійному включенні рентгенівського випромінювання. Таке пристрій томографа дозволяло отримати томограму за 4- 20 мин.

Рентгенівські томографи з цим пристроєм (I покоління) використовувалися лише на дослідження мозку. Це обумовлювалось як великим часом дослідження (візуалізації лише нерухомих об'єктів), і малим діаметром зони томографирования до (24 див). Проте одержуване зображення несло дуже багато додаткової діагностичної інформації, що стало поштовхом як до клінічного застосування нової методики, до подальшому вдосконаленню самої аппаратуры.

Другим етапом становлення нового методу дослідження було заборонено випуск до 1974 р. комп’ютерних томографів, містять кілька детекторів. Після поступального руху, яке вироблялося швидше, ніж в апаратів I покоління, трубка з детекторами робила поворот на 3−10?, що сприяло прискоренню дослідження, зменшенню променевої навантаження на пацієнта і поліпшення якості зображення. Але час отримання однієї томограммы (20−60 з) значно обмежувало застосування томографів II покоління на дослідження всього тіла через неминучих артефактів, з’являються через свавільних і мимовільних рухів. Аксиальные комп’ютерні рентгенівські томографи даної генерації знайшли широке застосування дослідження мозку в неврологічних і нейрохірургічних клиниках.

Одержання якісного зображення зрізу тіла особи на одне будь-якому рівні можна було після розробки в 1976;1977 рр. комп’ютерних томографів III покоління. Принципова новизна їх полягала у том, что було виключено поступальний рух системи трубка-детекторы, збільшено діаметр зони дослідження до 50−70 див і первинна матриця комп’ютера (фірми «Дженерал електрик», «Пикер», «Сіменс», «Тошіба», «ЦЖР»). Це спричинило з того що одну томограму можна було отримати за 3−5 з при обороті системи трубка-детекторы на 360?. Якість зображення значно збільшилося і було обстеження внутрішніх органов.

З 1979 р. деякі провідні фірми почали друкувати комп’ютерні томографи IV покоління. Детектори (1100−1200 прим.) у тих апаратах розташовані по кільцю і обертаються. Рухається лише рентгенівська трубка, що дозволяє зменшити час отримання томограммы до 1−1,5 з при повороті трубки на 360?. Це, і навіть збирати інформацію під різними кутами збільшує обсяг одержуваних відомостей при зменшенні витрат часу на томограмму.

У 1986 р. стався якісний стрибок в аппаратостроении для рентгенівської комп’ютерної томографії. Фірма «Иматрон» випущено компьютерный томограф V покоління, працював у реальному масштабі часу. У 1988 р. комп’ютерний томограф «Иматрон» куплений фірмою «Пикер» (США) і тепер називається «Фастрек».

З огляду на зацікавленість клінік у придбанні комп’ютерних томографів, з 1986 р. визначилося напрям з випуску «дешевих» компактних систем для поліклінік і нових невеликих лікарень (М250, «Мідіпротікав»; 2000 Т, «Шимадзу»; СП МАХ, «Дженерал електрик»). Маючи деякими обмеженнями, пов’язані з числом детекторів чи часом і обсягом що збираються інформації, ці апарати дозволяють виконувати 75−95% (в залежність від виду органу) досліджень, доступних «великим» комп’ютерним томографам. [№ 2, стор. 8−10].

2. ФІЗИЧНІ І ТЕХНІЧНІ ОСНОВЫ ТОМОГРАФИИ.

2.1.Принципы освіти послойного изображения.

За виконання звичайній рентгенограми три компонента — плівка, об'єкт і рентгенівська трубка — залишаються у спокої. Томографический ефект можна було одержати при наступних комбінаціях: 1) нерухомий об'єкт і рухомі джерело (рентгенівська трубка) і приймач (рентгенографічна плівка, селеновая пластина, кристалічний детектор тощо.) випромінювання; 2) нерухомий джерело випромінювання та рухомі об'єкт і приймач випромінювання; 3) нерухомий приймач випромінювання та рухомі об'єкт і джерело випромінювання. Найпоширеніші томографи з синхронним переміщенням трубки і плівки в протилежних напрямах при.

[pic].

Мал.1 Принцип освіти послойного изображения.

F0, F1, F2 -нулевое, исходное й остаточне становище фокусу рентгенівської трубки; j-½ кута повороту трубки; S-поверхность столу; Тоб'єкт дослідження; О-точка який виділяється шару; О1, О2-точки, які перебувають вищою, і нижче який виділяється шару; Про`, О``-проекции точки Про плівці при вихідному і кінцевому положеннях фокусу рентгенівської трубки; О1`, O1``-проекции точки О1 плівці за ті самі положеннях фокусу трубки; О2`, О2``-проекции точки О2 за ті самі положеннях фокусу трубки; О```-проекции всіх точок плівці при нульовому становищі рентгенівської трубки.

неподвижном об'єкті дослідження. Рентгенівський випромінювач і кассетовласник з приймачем випромінювання (рентгенівська плівка, селеновая пластина) з'єднують жорстко з допомогою металевого важеля. Вісь обертання важеля (переміщення трубки і плівки) перебуває над рівнем столу" й яку можна довільно перемещать.

Як зазначено на мал.1, при переміщенні трубки з положення F1 в становище F2, проекція точки Про, що відповідає осі обертання важеля, буде бути щодо одного й тому самому місці плівки. Проекція точки Про нерухома щодо плівки і, отже, її зображення буде чітким. Проекції точок О1 і О2, находящиеся поза який виділяється шару, з переміщенням трубки і плівки змінюють своє становище плівці і, отже, їх зображення буде нечітким, розмазаним. Доведено, що геометричних місцем точок, проекції яких за русі системи нерухомі щодо плівки, є площину, паралельна площині плівки і через вісь закінчення системи. На томограмме, в такий спосіб, будуть чіткими зображення всіх точок, що у площині лише на рівні осі обертання системи, тобто у выделяемом томографическом слое.

На малюнку показано переміщення трубки і плівки небалістичною траєкторією прямая-прямая, тобто за паралельним прямолінійним котрі спрямовують. Такі томографи, мають найпростішу конструкцію, набули найбільшого поширення. У томографах з траєкторіями дуга-дуга, дуга-прямая геометричних місцем точок, проекції яких за русі системи нерухомі щодо плівки, є площину, паралельні плоскістки плівки і через вісь качання системи; виділяється шар також пласкою форми. Через складнішою конструкції ці томографи отримали менше распространение.

Наведені вище апарати ставляться до лінійним томографам (з лінійними траєкторіями), оскільки проекції траєкторій руху системи трубка-пленка на виділювану площину мають вигляд прямий лінії, а тіні розмазування мають прямолинейную форму.

За кут повороту (качання) трубки 2j в томографах приймають кут її повороту вже з крайнього положення у інше; переміщення трубки від нульового становища одно j.

У томографах з нелінійним размазыванием переміщення системи трубка — плівка іде за рахунок криволинейным траєкторіям — колу, еліпсу, гипоциклоиде, спіралі. У цьому ставлення відстаней фокус трубки — вісь і вісь — плівка зберігається постійним. І на цих випадках доведено, що геометричних місцем точок, проекції яких за русі системи нерухомі щодо плівки, є площину, паралельна площині плівки і через вісь качання системи. Розмазування зображення точок об'єкта, лежачих поза виділеної площині, іде за рахунок відповідним кривим траєкторіям руху системи. Размазываемые зображення повторюють плівці траєкторію переміщення фокусу рентгенівської трубки.

При симультанної (багатошарової) томографії до одного прийом (одне переміщення трубки і плівки в протилежних напрямах) отримують кілька томограмм завдяки розташуванню лише у касеті кількох плівок, розташованих на деякій відстані друг від друга. Проекція зображення першого шару, знаходиться в осі обертання системи (обраної висоті шару), виходить верхньої плівці. Геометрично доведено, що у наступних плівках отримують своє зображення нижележащие паралельні до осі руху системи верстви, відстані між якими приблизно рівні відстаней між плівками. Основним недоліком подовжньої томографії і те, що розпливчасті зображення вищеі нижележащих площин з небажаної інформацією зменшують природну контрастність. Вследствии цього сприйняття на выделяемом шарі тканин з невисокою контрастністю ухудшается.

Зазначеного нестачі позбавлена аксіальна комп’ютерна рентгенівська томографія. Це тим, що суворо колімоване пучок рентгенівського випромінювання відбувається лише через ту площину, яка цікавить лікаря. У цьому реєстрація розсіяного випромінювання зведена до мінімуму, значно покращує візуалізацію тканин, особливо мало контрастних. Зниження реєстрації розсіяного випромінювання при комп’ютерної томографії здійснюється коллиматорами, одна з яких розташований на виході рентгенівського пучка з трубки, інший — перед складанням детекторов.

Відомо, що з однаковою енергії рентгенівського випромінювання матеріал з більшою відносної молекулярної масою поглинатиме рентгенівське випромінювання більшою мірою, ніж речовина з не меншою відносної молекулярної масою. Таке ослаблення рентгенівського пучка то, можливо легко зафіксовано. Проте за практиці ми маємо справу з цілком неоднорідним об'єктом — тілом людини. Тому часто може бути, що детектори фіксують кілька рентгенівських пучків однаковою інтенсивності тоді, як вони пережили цілком різні середовища. Це є, наприклад, під час проходження через однорідний об'єкт достатньої протяжності і неоднорідний об'єкт з такою ж сумарною плотностью.

При подовжньої томографії відмінність між щільністю окремих ділянок визначити неможливо, оскільки «тіні» ділянок накладаються друг на друга. З допомогою комп’ютерної томографії вирішена і це завдання, так як із обертанні рентгенівської трубки навколо тіла пацієнта детектори реєструють 1,5 — 6 млн сигналів із різних точок (проекцій) І що особливо важливо, кожна точка багаторазово проектується різні оточуючі точки.

При реєстрації ослабленого рентгенівського випромінювання кожному детекторі порушується струм, відповідний величині випромінювання, яка на детектор. У системи збирання даних струм від кожної детектора (500−2400 прим.) перетворюється на цифровий сигнал і після посилення подається в ЕОМ в обробці і збереження. Тільки після цього починається власне відновлення изображения.

Відновлення зображення зрізу за сумою зібраних проекцій є вкрай ускладненим процесом, і кінцевий результат є якусь матрицю з відносними числами, відповідну рівню поглинання кожної точки в отдельности.

У комп’ютерних томографах застосовуються матриці первинного зображення 256×256, 320×320, 512×512 і 1024×1024 елементів. Якість зображення зростає зі збільшенням числа детекторів, зростання кількості реєстрованих проекцій за оборот трубки і за збільшенні первинної матриці. Збільшення кількості реєстрованих проекцій веде до підвищення променевої навантаження, застосування більшої первинної матриці - до підвищення часу обробки зрізу чи необхідності встановлення додаткових спеціальні процесори відеозображення. [№ 2, стор. 10−13].

2.2. Одержання комп’ютерної томограммы.

Одержання комп’ютерної томограммы (зрізу) голови на обраному рівні полягає в виконанні наступних операцій: 1) формування необхідної ширини рентгенівського променя (коллимирование); 2) сканування голови пучком рентгенівського випромінювання, здійснюваного рухом (обертальним і поступальним) навколо нерухомій голови пацієнта устрою «випромінювач — детектори»; 3) вимір випромінювання та визначення його ослаблення з наступним перетворенням успіхів у цифрову форму; 4) машинний (комп'ютерний) синтез томограммы за сукупністю даних виміру, стосовних до обраному прошарку; 5) побудова зображення досліджуваного шару на екрані відеомонітора (дисплея).

У системах комп’ютерних томографів сканування й одержання зображення відбуваються так. Рентгенівська трубка як випромінювання «обходить» голову по дузі 240?, зупиняючись через кожні 3? цієї дуги і роблячи поздовжнє переміщення. На однієї осі з рентгенівським випромінювачем закріплені детектори — кристали йодистого натрію, змінюють іонізуюче випромінювання в світлове. Останнє потрапляє на фотоэлектронные умножители, здатні перетворювати цю видиму частину — у електричні сигнали. Електричні сигнали піддаються посиленню, та був перетворення на цифри, які вводять у ЕОМ. Рентгенівський промінь, пройшовши через середу поглинання, послаблюється пропорційно щільності тканин, можна зустріти з його шляху, й має інформацію про рівень його ослаблення в кожне положення сканування. Інтенсивність випромінювання переважають у всіх проекціях порівнюється зі величиною сигналу, яке надходить із контрольного детектора, реєструючого вихідну енергію випромінювання відразу ж потрапляє не вдома променя з рентгенівської трубки.

Отже, формування показників поглинання (ослаблення) для кожної точки досліджуваного шару відбувається після обчислення відносини величини сигналу не вдома рентгенівського випромінювача до значенням його після проходження об'єкта дослідження (коефіцієнти поглощения).

У ЕОМ виконується математична реконструкція коефіцієнтів поглинання і просторове їх розподіл на квадратної багатоклітинної матриці, а отримані зображення передаються для візуальної оцінки на екран дисплея.

Тільки за сканування отримують два стичних між собою зрізу завтовшки 10 мм кожен. Картина зрізу відновлюється на матриці розміром 160×160.

Отримані коефіцієнти поглинання висловлюють в відносних одиницях шкали, нижню межу якої (-1000 ед.Н.) (ед.Н. — одиниці Хаунсфильда чи числа комп’ютерної томографії) відповідає ослаблення рентгенівських променів повітря, верхня (+1000 ед.Н.) — ослаблення в кістках, а й за нуль приймається коефіцієнт поглинання води. Різні тканини мозку і рідкі середовища мають різні за величині коефіцієнти поглинання. Наприклад коефіцієнт поглинання жиру у межах від -100 до 0 ед.Н., спинномозковій рідини — від 2 до 16 ед.Н., крові - від 28 до 62 ед.Н. Це забезпечує можливість отримувати на комп’ютерних томограмах основні структури мозку і з патологічні процеси у яких. Чутливість системи в уловлюванні перепаду рентгенівської щільності у звичайному режимі дослідження вбирається у 5 ед.Н., що становить 0,5%.

На екрані дисплея високим значенням щільності (наприклад, кістки) відповідає світлі ділянки, низьким — темні. Градационная здатність екрана становить 15−16 напівтонових щаблів, различаемые людським оком. На кожну щабель, в такий спосіб, припадає близько 130 ед.Н.

Для повної реалізації високої роздільної здатності томографа по щільності в апараті передбачено кошти управління так званої ширини вікна та її рівня (становища), щоб дати рентгенологу можливість аналізувати зображення в різних ділянках шкали коефіцієнтів поглинання. Ширина вікна — це величина різниці найбільшого і найменшого коефіцієнтів поглинання, відповідна зазначеному перепаду яскравості. Становище або рівень вікна (центр вікна) — це величина коефіцієнтів ослаблення, рівна середині вікна і выбираемая з умов найкращого виявлення плотностей цікавій для групи структур чи тканин. Найважливішою характеристикою є якість одержуваного изображения.

Відомо, і що якість візуалізації анатомічних утворень мозку і осередків поразки залежить переважно від двох чинників: розміру матриці, де будується томограма, і перепаду показників поглинання. Розмір матриці може значний вплив на точність діагностики. Так, кількість хибних діагнозів під час аналізу томограмм на матриці 80×80 клітин становила 27%, а під час роботи на матриці 160×160 — зменшилося до 11%.

Комп’ютерний томограф має двома видами роздільної здатності: просторової і з перепаду щільності. перший тип визначається розміром клітини матриці (зазвичай — 1,5×1,5 мм), другий дорівнює 5 ед.Н. (0,5%). У відповідність до цими характеристиками теоретично можна розрізняти елементи зображення розміром 1,5×1,5 мм при перепаде щільності з-поміж них незгірш від 5 ед.Н. (1%) вдається виявляти осередки величиною щонайменше 6×6 мм, а при відмінності у 30 ед.Н. (3%) — деталі розміром 3×3 мм. Звичайна рентгенографія дозволяє вловити мінімальну різницю за щільністю між сусідніми ділянками в 10−20%. Проте за дуже значному перепаде плотностей поруч розташованих структур виникають специфічні для даного методу умови, які знижуватимуть його розрізнювальну здатність, бо за побудові зображення на таких випадках відбувається математичне усереднення і навіть осередки невеликих розмірів може бути не виявлено. Найчастіше це відбувається за невеликих зонах зниженою щільності, розташованих неподалік масивних кісткових структур (піраміди скроневих кісток) чи кісток зводу черепа. Важливим передумовою забезпечення проведення комп’ютерної томографії є нерухоме становище пацієнта, бо рух під час дослідження призводять до виникнення артефактів — наведень: смуг темного кольору від утворень з низьким коефіцієнтом поглинання (повітря) і «білих смуг від структур з великим КП (кістку, металеві хірургічні клипсы), що також знижує діагностичні можливості. [№ 3, стор. 16−19].

2.3. Посилення контрастности.

Для отримання чіткішого зображення патологічно змінених ділянок в головному мозку застосовують ефект посилення контрастності, яких досягається внутрішньовенним запровадженням рентгеноконтрастного речовини. Збільшення щільності зображення на комп’ютерної томограмме після внутрішньовенного запровадження контрастного речовини пояснюється всерединіі внесосудистыми компонентами. Внутрішньосудинне посилення перебуває у прямої залежності від змісту йоду в циркулюючої крові. У цьому збільшення концентрації на 100 мг йоду в 100 мл обумовлює величини абсорбції на 26 ед.Н. (ед.Н. — одиниці Хаунсфильда чи числа комп’ютерної томографії). При компьютерно-томографических вимірах венозних проб після введення 60% контрастного речовини в дозі 1 мл на кг маси тіла, щільність потоку зростає у середньому у протягом 10 хв після ін'єкції, становить 39,2 плюс-мінус 9,8 ед.Н. Зміст контрастного речовини в плинною крові змінюється внаслідок того, що стосовно швидко починається виділення його нирками. Вже протягом перших 5 хв після болюсной ін'єкції концентрація речовини у крові в середньому знижується на 20%, у наступні 5 хв — на13% і ще за 5 хв — на 5%.

Нормальне збільшення щільності мозку на комп’ютерної томограмме після введення контрастного речовини пов’язані з внутрисосудистой кінцентрацией йоду. Можна отримати зображення судин діаметром до $ 1,5 мм, якщо рівень йоду у крові становить приблизно 4 мг/мл та за умови, що посудину розташований перпендикулярно до площині зрізу. Спостереження сприяли висновку, що контрастне речовина накопичується в пухлинах. [№ 4, стор. 17- 19].

3. ЦИФРОВЫЕ РЕНТГЕНОГРАФИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ.

Перетворення традиційної рентгенограми у цифровій масив з наступної можливістю обробки рентгенограмм методами обчислювальної техніки стало поширеним процесом. Такі аналогові системи найчастіше мають дуже жорсткі обмеження на експозицію через малого динамічного діапазону рентгенівської плівки. На відміну від аналогових прямі цифрові рентгенографические системи дають змогу одержувати діагностичні зображення без проміжних носіїв, незалежно від необхідного рівня дози, і зображення можна обробляти і відображати по-різному. [№ 6].

На мал.2 приведено схема типовою цифровий рентгенографічної системи. Рентгенівська трубка і приймач зображення пов’язані з комп’ютером й управляються їм, а одержуване зображення запам’ятовується, обробляється (у цифровій формі) і відображається на телеекрані, яким частина пульту управління (чи устрою виведення даних) оператора-рентгенолога.

Аналогічні пульти управління можна застосовувати і за іншими системах отримання зображення, наприклад з урахуванням ядерного магнітного резонансу чи комп’ютерної томографії. Цифрова зображення можна записати на магнітному носії, оптичному диску або ж на спеціальному записывающем устрої, здатний постійно вести реєстрацію зображення на плівку в аналогової форме.

[pic] Рис. 2 Складові елементи цифровий системи отримання рентгенівських изображений.

У цифровий рентгенології може вишукати застосування два класу приймачів зображення: приймачі з безпосереднім формуванням зображення приймачі із застосуванням часткової реєстрацією зображення, у яких повне зображення формується шляхом сканування або рентгенівським пучком, або названим пристроєм (сканирующая проекционная рентгенографія). У цифровий рентгенографії застосовують підсилювач зображення, ионографическую камеру і пристрій з вимушеної люминисценцией. Ці приймачі можуть безпосередньо формувати цифрові зображення без проміжної реєстрацію ЗМІ й зберігання. Підсилювачі зображення що немає найкращим просторовим дозволом чи контрастом, проте мають високе швидкодія. Аналого-цифровое перетворення флюорограммы з числом точок у виконанні 512×512 може обіймати свою час менш 0,03 з. Навіть при числі точок 2048×2048 у виконанні час перетворення зображення на цифрову форму становить усього кілька секунд. Час зчитування зображення з пластини з вимушеної люминисценции чи ионографической камери значно більше, хоч останнє вигідно отличается найкращим дозволом і динамічним диапазоном.

Записане на фотоплівці зображення можна перетворити на цифрову форму з допомогою сканирующего микроденситометра, але будь-яка інформація, зафіксована на фотоплівці із надто малої чи, навпаки, занадто високої оптичної щільністю, буде викривлена через вплив характеристик плівки. У цифрову форму можна перетворити і ксерорентгенограму також з допомогою сканирующего денситометра, працював у відбитому світлі, чи шляхом безпосереднього зчитування зарядового зображення з селеновой пластини. [№ 5, стор. 99−100].

У Росії її пряма цифрова рентгенографічна система Інституту ядерної фізики (ІЯФ) ЗІ РАН застосовується у кількох клінічних лікарнях. У цьому системі рентгенівська плівка як реєстратор рентгенівського випромінювання замінена многопроволочной пропорційної камерою. Така камера разом із електронними схемами посилення та формування імпульсів є лінійку на 256 практично незалежних каналів, мають чутливу поверхню 1×1 мм. (Останніх моделях 350 каналів і 0,5×0,5 мм.) Використання в лічильниках за робочу газу ксенону при тиску 3 кгс/см2 забезпечує ефективність реєстрації випромінювання. Цю систему може бути зарахована до класу ионографических приладів для цифровий рентгенографії, передавальних зображення на зовнішні устрою отображения.

За інших цифрових рентгенографических системах використовують твердотільні приймачі з великим коефіцієнтом поглинання рентгенівського излучения.

У обох різновидах згаданих рентгенографических систем застосовується метод сканування з порядкової реєстрацією зображення, яке відтворюється аж в на дисплеї комп’ютера (сканирующая проекционная рентгенография).

До другої класу цифрових рентгенографических систем слід віднести люмінофори з пам’яттю і вимушеної люмінесценцією, які потім реєструється. Це приймач з безпосереднім формуванням зображення. [№ 6].

Системи отримання зображення зі скануванням рентгенівським пучком і приймачем мають важливе перевагу, яке у тому, що мені добре придушується розсіювання. У цих системах один коліматор розташовується перед пацієнтом з обмеження первинного рентгенівського пучка до розмірів, необхідні роботи приймача, а інший — за пацієнтом, аби знизити розсіювання. На рис. 3 зображено лінійна сканирующая система щоб одержати цифрового зображення грудної клітини. Приймачем у системі є смужка з оксисульфида гадолиния, зчитування інформації з якою ведеться лінійної матрицею з 1024 фотодіодів. Проекційні рентгенограми синтезуються також сканерами комп’ютерної томографії виконують допоміжну роль при виділенні відповідного сечения.

Головним недоліком скануючих систем і те, що більша частина частина корисною вихідний потужності рентгенівської трубки розгубився й що необхідні великі часи експозиції (до 10 с).

[pic].

Рис. 3 Система лінійного сканування для цифровий рентгенографії грудної клетки.

Матриці зображення з 512×512 елементів може бути досить з метою цифровий флюороскопии (флюорографії), тоді як система рентгеноскопії грудної клітини вимагатиме матриці із кількістю елементів 1024×1024 при розмірах елемента зображення 0,4 мм.

Кількість градацій у виконанні залежить від медичного призначення. Аналого-цифрового перетворення на 8 біт, забезпечує точність 0,4%, цілком достатньо реєстрації зашумленных зображень чи великих масивів (меншою щаблі градації яскравості відповідає більший рівень шуму), проте до низки додатків може знадобитися і десятибітовий АЦП (точність 0,1%).

Якщо потрібно швидкий доступом до інформації, отриманої за тривалий час, доцільно застосовувати оптичні диски. Ємність пам’яті 12-дюймового оптичного диска дорівнює майже двом гігабайтів, що він відповідає 1900 зображенням розміром 1024×1024 по 8 біт кожне (без стискування даних). Для зчитування з оптичного диска можна використовувати автоматичне пристрій знімання, що дозволяє забезпечити швидкий доступ до будь-якого зображенню. Можливість роботи з усіма зображеннями у цифровій формі дуже приваблива, а системи, виконують це, називаються системами збереження і передачі (СПХИ чи СХПИ). [№ 5, стор. 100- 102].

[pic].

Див. Мал.5 Принципова схема взаємодії елементів системи отримання, обробки, збереження і передачі рентгенівських діагностичних изображений.

На див. мал.5 зображено принципова схема взаємодії елементів системи отримання, обробки, збереження і передачі рентгенівських діагностичних изображений.

Система представлена трьома каналами: 1) традиційна рентгенография;

2) цифрова рентгенографічна установка; 3) рентгеноскопія (відеосигнал з УРИ).

Перший канал. Рентгенограми, отримані з допомогою традиційного процесу, надходять на обробку в полутоновый графічний сканер, з допомогою якого рентгенодиагностическое зображення вводять у пам’ять комп’ютера. Після цього така перетворена рентгенограма може оброблятися засобами комп’ютерна техніка, але у рамках вузького динамічного діапазону рентгенівської плівки. Це зображення то, можливо введено в електронний архів і вибиратиметься звідти на вимогу. Ця оцифрована рентгенограма вже не відрізняється від прямих цифрових рентгенограмм по доступності засобам обработки.

Третій канал. Рентгенівські зображення з рентгенотелевизионного каналу УРІ можуть захоплюватися спеціалізованим адаптером видеоввода як як реального часу, і з видеомагнитофонного кадру. Останнє переважно, оскільки дозволяє під час перегляду відеомагнітофонних зображень вибрати потрібний кадр для занесення їх у архів. Об'єктом входження у електронний архів можуть бути будь-які зображення, одержувані при рентгеноскопії з допомогою УРИ.

Перший, і третій канали дають можливість перетворити традиційні рентгенівські зображення (рентгенограми й виховують кадри видеотелевизионного тракту) в цифрове зображення. Цей прийом має особливе значення, тому що воно являє собою змогу точно порівняти зображення, отримані у різний спосіб. Наступним перевагою перетворення є можливість поміщення його в електронний архів і виконання всіх операцій із цифровим зображенням. Слід особливо підкреслити можливість передачі по комп’ютерних мережах, оскільки у останні роки «погляди медиків фокусуються на передачі зображень» як основному засобі забезпечення доступу до матеріалів, що є колосальне значення для діагностики, так процесів обучения.

Другий канал. Це власне канал цифровий рентгенографічної установки. Він з двох підсистем: автоматизованого робочого місця (АРМ) лаборанта і АРМ врача-рентгенолога (ВР), об'єднаних в локальну мережу. У АРМ рентгенолаборанта відбувається внесення даних про хворому, необхідного організаційного і зникненню клінічних даних, і управління процесом реєстрації зображення (синхронне включення сканера і високого напруження і ін.). Після набуття рентгенівського зображення це й інформацію про пацієнта на локальній мережі вступають у АРМ ВР. У цьому процес рентгенографії і передачі зображень від АРМ лаборанта в АРМ лікаря не викликає зволікань й у часі, не перериваючи роботи лікаря на жодному щаблі, тобто. відбувається безперервна і незалежна робота на обох робочих місць. На АРМ ВР виконуються програмна обробка зображень для вилучення діагностичної інформації, пошук попередніх зображень пацієнтів і порівнювати з знову отриманими, реєстрація нових пацієнтів і зображень базі даних, наведення до формату, оптимальному для архівування, та інші маніпуляції, доступні електронним технологіям самого персонального комп’ютера. Програмне забезпечення дозволяє врачу-рентгенологу за необхідності створити тверді копії зображень на лазерному принтері (цей спосіб отримання твердих копій кілька поступається з точністю передачі діагностичних зображень теплопечати чи поляроидному фотопроцессу, але набагато дешевше всіх інших засобів відтворення зображення); за наявності мережевий зв’язку дозволяє передати їх клінічні підрозділи, зв’язатися з консультаційними центрами чи центральним архівом електронній зв’язку. Блок бази даних, є серцевиною системи, формалізує все етапи роботи з пацієнтом від внесення даних лаборантом до розміщення у архівне зберігання, дозволяє лікарярентгенологу створювати всі види стандартної звітності, і навіть аналізувати проведену роботу з цільовим выборкам. Кінцевим етапом роботи з цифровим зображенням всіх трьох видів є його архивирование на магнітний чи оптичний носій. [№ 6].

3.1. Склад технічних засобів АРМ ВР.

Вибір технічних засобів для АРМ ВР (автоматизоване робоче місце врача-рентгенолога) великою мірою залежить від типу розв’язуваних завдань. Зазвичай як технічної бази щодо АРМ обробки зображень використовують графічні станції чи персональні комп’ютери. Графічні станції, створені передусім на рішень завдань машинної графіки, обладнані спеціальними графічними процесорами, які прискорюють процедури побудови графічних примітивів (особливо тривимірних). Для завдань оброблення і аналізу зображень більш істотна швидкість їх обробки. Тож у ролі технічної бази АРМ ВР використана широко поширена і дешева ПЕОМ типу IBM PC/AT.

[pic].

Рис. 4 Блок-схема технічних засобів АРМ ВР.

1-негатоскоп; 2-телевизионная камера; 3-ПЭВМ; 4-фреймграббер; 5-телемонитор.

Практична робота показала, що продуктивність персонального комп’ютера у часто достатня, аби розв’язувати завдання обробки відеоданих у часі лікаря. З іншого боку ПЕОМ мають потужні технічні і програмні засоби в організацію «віконного» человекомашинного диалога.

З використанням зображень, записаних в аналоговому вигляді, наприклад рентгенограмм, необхідно пристрій для введення і візуалізації в ЕОМ. У ролі такого устрою зручно використовувати фрейм-граббер конструктивно оформлений у вигляді плати, що у корпусі ПЕОМ. Слід також мати телекамеру з об'єктивом, світловий стіл для підсвічування рентгенограмм (негатоскоп) і телемонитор для візуалізації зображень (рис.4). Пристрій цифрового введення і візуалізації зображень має забезпечувати високу якість уявлення медичних зображень, щоб за використанні їх не губилася важлива діагностична інформація. [№ 7].

3.2. Області застосування і переваги цифрових систем.

Перевагою цифрових рентгенографических систем ставляться такі чотири чинника: цифрове відображення зображення; знижена доза опромінення; цифрова обробка зображень; цифрове збереження і поліпшення якості изображений.

Розглянемо перше перевагу, що з відображенням цифровий інформації. Розпад зображення рівням яскравості на екрані стає повною мірою доступне користувача. Весь діапазон оптичних яркостей можна використовувати для відображення лише ділянки зображення, що зумовлює підвищенню контрасту в цікавій для області. У його розпорядженні оператора є алгоритми для аналогової обробки зображення із єдиною метою оптимального використання можливостей систем відображення. [№ 5, стор. 103].

Це властивість цифровий рентгенографії також дає можливість знизити променеву навантаження на пацієнта шляхом зменшення кількості рентгенограмм для отримання діагностичної інформації (тієї ж полезности).

Цифрова відображення за його комп’ютерної обробці дозволяє витягти кількісну і інформацію отже перейти від интуитивно-эмпирического способу зображення до об'єктивно измеренному.

Істотним переваг цифровий рентгенографії перед экранноплівковим процесом є простота і швидкість отримання зображення. Зображення стає доступним аналізу врачом-рентгенологом в останній момент закінчення експозиції. [№ 6].

Друге перевагу цифровий рентгенології - можливість зниження дози опромінення. Якщо звичайній рентгенології доза опромінення залежить від чутливості приймача зображення динамічного діапазону плівки, то цифровий рентгенології обидва цих показника може стати несуттєвими. Зниження дози можна досягнути установкою експозиції, при якої підтримується необхідний рівень галасу зчинив на зображенні. Подальше зменшення дози можливо шляхом добору такий довжини хвилі рентгенівського випромінювання, яка забезпечувала б мінімальну дозу при цьому плані сигнал/шум, і навіть шляхом ліквідації будь-яких втрат контрасту з допомогою описаних вище методів відображення цифрових изображений.

Третє перевагу цифровий рентгенології - це можливість цифровий обробки зображень. Рентгенолог повинен виявити аномальні освіти на ускладненою тлом нормальної структурі биоткани. Він може помітити дрібних деталей у виконанні, які система дозволяє, чи пропустити слабоконтрастную структуру, видиму і натомість шумів зображення, через складного будівлі оточуючих (чи сверхлежащих) тканин. Субстракционный метод в рентгенографії дозволяє усунути більшу частину паразитною фонової структури та цим підвищити ймовірність виявлення важливих деталей на рентгенограмме. Комп’ютерну томографію так можна трактувати як окреме питання методу субстракционной рентгенографії, у якому з звичайних проекційних зображень усувається інформацію про вышележащих структурах. [№ 5, стр.103−104].

Особлива цінність застосування цифровий рентгенографії залежить від можливості відмови від рентгенівської плівки і пов’язаної з нею фотохімічного процесу. Це рентгенологічне дослідження екологічно чистіше, а зберігання інформацією цифровому вигляді дозволяє створити легкодоступні рентгенівські архіви. Нові кількісні форми обробки інформації відкривають широкі можливості стандартизації отримання зображень, приведення їх до стандарту якості в останній момент отримання й при відстрочених повторних дослідженнях. Має Значення открывающаяся можливість передачі на будь-які відстані засобами комп’ютерних коммуникаций.

Наведені міркування з достатньої наочністю демонструють прогресивність запровадження цифровий рентгенографії, яка зможе перевести діагностичну рентгенологию нового вищий технологічний рівень. Відмова від дорогих витратних матеріалів виявляє і його високу економічну ефективність, що у поєднані із можливістю зменшення променевих навантажень на пацієнтів робить її застосування на практиці особливо привабливим. [№ 6].

3.3. Цифрова рентгенографія з екрана електронно-оптичного перетворювача (ЭОП).

Система рентгенографії з екрана ЭОП (рис. 5) полягає, як і звичайна система електронно-оптичного перетворення для просвітлювання, з ЭОП, телевізійного тракту з високим розрізненням, рентгенівського високовольтного генератора і рентгенівського випромінювача. Сюди входить штатив на дослідження, цифровий перетворювач зображення тощо компоненты.

При звичайній методиці рентгенографії з екрана ЭОП з допомогою 100 мм фотокамери чи кінокамери переснимается оптичне зображення на вихідному екрані преобразователя.

У цифровий системи сигнал, який із відеокамери, аналогоцифровим перетворювачем трансформується на набір цифрових даних, і передається в накопичувальне пристрій. Потім ці дані, відповідно до обраними дослідником параметрами, комп’ютерне пристрій переводить в видиме зображення. [pic] Див. Мал.5 Цифрова рентгенографія з екрана ЭОП.

1-генератор; 2-рентгеновская трубка; 3-пациент; 4-ЭОП; 5- видеокамера;

6-аналого-цифровой перетворювач; 7-накопитель изображений;

8-видеопроцессор; 9-сеть; 10-цифро-аналоговый преобразователь;

11-монитор; 12-снимок; 13-рентгенолог.

3.4. Цифрова люмінесцентна рентгенографія (ЦЛР).

Застосовувані в ЦЛР (див. мал.6) пластины-приемники зображення після їх експонування рентгенівським випромінюванням послідовно, точка за точкою, скануються спеціальним лазерним пристроєм, а що виникає у процесі лазерного сканування світловий пучок трансформується на цифровий сигнал. Після цифрового посилення контурів і контрастності елементів зображення воно лазерним принтером друкується плівці чи відтворюється на телевізійному моніторі робочої консолі. Люмінесцентні пластины-накопители випускаються в стандартних формах рентгенівської плівки, поміщаються замість звичайних комплектів «пленка-усиливающий екран» в касету і застосовують у звичайних рентгенівських аппаратах.

Така пластина має значно більшою експозиційної широтою, ніж узвичаєні комбінації пленка-экран, завдяки чому значно розширюється інтервал між недоі переэкспонированием. В такий спосіб можна одержувати досить контрастні зображення навіть за різко зниженою експозиційної дозі, нижньою межею якої є лише рівень квантового шуму. Тому при рентгенографії в палаті біля ліжка хворого методика ЦЛР гарантує здобуття якісної снимка.

При ЦЛР використовуються цифрові перетворювачі, просторове вирішення яких вище, ніж в більшості які у час для звичайній рентгенографії комбінацій экран-пленка. І все-таки особливим перевагою ЦЛР є передача малоконтрастных деталей, тоді як передача дуже дрібних деталей, таких, наприклад, як микрокальценаты в молочної залозі, залишається прерогативою рентгенографії на рентгенівської плівці. [pic] Рис. 6 Цифрова люмінесцентна рентгенография.

1-генератор; 2-рентгеновская трубка; 3-пациент; 4- запам’ятовуюча пластина; 5-транспортирующее пристрій; 6-аналогоцифровий перетворювач; 7-накопитель изображений;8- відеопроцесор; 9-сеть;

10-цифро-аналоговый перетворювач; 11-монитор; 12-снимок;

13-рентгенолог.

3.5. Селеновая рентгенография.

Селеновые детектори є новітню систему цифровий рентгенографії (рис. 7). Основний частиною такого устрою служить детектор як барабана, вкритого шаром аморфного селену. Селеновая рентгенографія нині використовується лише у системах рентгенографії грудної клітини. Характерна перед фотокамерами грудної клітини висока контрастність між легеневими крисами і областю средостения при цифровому опрацюванні згладжується, не зменшуючи у своїй контрастності деталей зображення. Іншим перевагою селенового детектора є високий коефіцієнт відносини сигнал/шум. [pic].

Див. Мал.5 Цифрова селеновая рентгенография.

1-генератор; 2-рентгеновская трубка; 3-пациент; 4-селеновый барабан;

5-сканирующие электроды+усилитель; 6-аналого-цифровой преобразователь; 7-накопитель зображень; 8-видеопроцессор; 9- сеть;

10-цифро-аналоговый перетворювач; 11-монитор; 12-снимок;

13-рентгенолог.

4. Математичні основи комп’ютерної томографии.

Дослідження внутрішньої структури об'єктів із допомогою рентгенівського випромінювання поширені і добре відомі. Послаблення рентгенівського випромінювання вздовж променя, поєднує джерело і приймач, є інтегральної характеристикою щільності досліджуваного об'єкта. З математичної погляду йдеться про завданню відновлення функції її інтегральним значенням вздовж деякого сімейства променів. Різні промені відповідають різним (щодо об'єкта) положенням джерела і приймача випромінювання. У такій моделі є найпростішої, а й у часто добре відбиває реальну ситуацію і підтверджується дослідженням реальних тестових об'єктів. Щільність реальних об'єктів є функцією трьох просторових координат. Однак у класичної комп’ютерної томографії тривимірний об'єкт подають як набору тонких зрізів. Усередині кожного зрізу щільність вважають функцією лише двох змінних. При дослідженні фіксованого зрізу систему источник-приемник влаштовують в такий спосіб, що реєструються дані лише з променям, лежачим в тонкому шарі щодо центральної площині зрізу. Отже дійдуть завданню відновлення функції двох змінних з її інтегральним значенням вздовж деякого сімейства променів Для реєстрації в віялової схемою, частіше трапляється у реальних томографах, використовується лінійка детекторів, різні становища джерела щодо об'єкта забезпечуються обертанням системи реєстрації чи объекта.

4.1. Математична завдання рентгенівської комп’ютерної томографії, перетворення Радону і формули звернення. У комп’ютерній рентгенівської томографії тривимірний об'єкт представляється зазвичай, у вигляді набору тонких зрізів. Для відновлення щільності зрізу вирішується завдання звернення двумерного перетворення Радону. Перетворенням Радону функції f (x, y) називається функція, [pic]определяемая рівністю [pic]. Зазвичай на відновлення функції двох змінних з її интегралам вздовж прямих використовується метод пакунки й протилежного проектування. У цьому вся методі формула звернення перетворення Радону записується без явного використання узагальнених функцій. Проте особливо загальний рівень і природний вид формули звернення перетворення Радону набувають під час використання апарату узагальнених функцій. Далі буде розглянуто співвідношення між методом узагальнених функцій і методом пакунки й протилежного проектування. Перед викладом власне чисельного алгоритму буде надано висновок формули звернення, дозволяє природним чином можливість перейти до побудові алгоритму. З огляду на рівності [pic] функція [pic]при будь-якому фіксованому p визначається своїми значеннями при [pic]. Це дозволяє нам можливість перейти до функції [pic]. Тут L (r, ?) — пряма, ортогональна променю, має кут? ? позитивним напрямом осі X, і віддалена з початку координат на відстань r (r[pic] 0), при r < 0 L (r, ?) — пряма, симетрична щодо початку координат прямий L (|r|, ?). Висловимо f (x, y) через I (r, ?). Оскільки [pic], де [pic]- перетворення Фур'є функції f, то, переходячи до полярним координатам після елементарних перетворень інтеграла по? на інтервалі [?, 2?], ?олучаем [pic]. Введемо функцію S (z, ?), вважаючи [pic]. При фіксованому? функція S (z, ?) ?сть зворотне одномірне перетворення Фур'є від твори [pic]и |r|. Для [pic]справедливо рівність [pic]. Протилежне перетворення Фур'є від |r| є узагальнена функція v1/?z2. Переходячи від перетворення Фур'є твори до пакунку, отримуємо S (z,?) = I (z,?)[pic](v1/?z2). Використовуючи регуляризацию функції 1/z2 [19] дійшли вираженню [pic]. (1.5.1) Отже, для f (x, y) справедлива формула [pic], (1.5.2) що дозволяє висловити потрібну функцію через спостережувані дані. Перш ніж можливість перейти до дискретному варіанту зробимо ряд зауважень, що з обгрунтуванням коректності аналізованих алгоритмів у реальних ситуаціях. Узагальнені функції є функционалами над простором нескінченно дифференцируемых швидко убуваючих функцій. Проте за побудові аппроксимаций вихідних реальних даних із отсчетам, заданим в дискретних точках, бажано мати не менше жорсткі вимоги до гладкості аппроксимирующих функцій. Згортка з узагальненими функціями, зокрема, з функцією 1/z2, може бути оцінена для значно менш гладких функцій, дуже важливо при доказі коректності застосування про чисельні алгоритмів, одержуваних з допомогою апарату узагальнених функцій, до реальних даним. Перейдемо до дискретному варіанту. Будемо припускати, що f (x, y) = 0 поза кола радіуса R з центром в нулі. Вихідними даними є величини I (ri, ?і), тут ri v отсчеты в інтервалі [-R, R], 1? і? M — отсчеты в інтервал [0, ?], 1? j? N. Якщо нині за заданих значеннях функції I (r, ?)? отсчетах (ri, ?і) побудувати апроксимацію I (r, ?) отож у S (z,?) ?ыполняется рівність (1.5.1), то використовуючи (1.5.1) і (1.5.2) можна отримати наближення до f (x, y). Надалі будемо припускати, що отсчеты на вісях r і? є равноотстоящими. При кожному фіксованому ?j визначимо [pic]следующим образом.

1. Функція [pic]имеет безперервну першу похідну по r.

2. У вузлах грати аппроксимирующая функція збігаються з заданими отсчетами, та її похідна у тих точках дорівнює вибіркової. Тобто справедливі рівності: [pic], [pic], тут h = 2R/(M-1), I (r0,?j) =.

I (rM+1, ?j) = 0, і = 1, -, M.

3. На інтервалі [ri, ri+1] функція [pic]есть поліном третього ступеня від r. Перелічені умови дозволяє явному вигляді отримати коефіцієнти відповідного сплайна. Безпосередніми обчисленнями можна було одержати, що [pic], де [pic] Q (x) = Q (-x), Q (x) = 0 при |x|> 2h, h=ri+1-ri. Функція Q (x) має розриви другий похідною, але модуль другий похідною інтегруємо, використовуючи цю обставину можна показати, що згортка S0(z) = Q (x) [pic](-1/?z2) виражається формулою (1.5.1). Безпосередніми обчисленнями отримуємо [pic] Графіки функцій Q (x) і S0(z) щодо різноманітних значень h представлені на рис. 1 і рис. 2. [pic][pic] Отже, [pic]. Замінюючи в (1.5.2) P. S на [pic]и інтеграл приватної сумою, отримуємо f*(x, y) — наближення до функції f (x, y), [pic]. (1.5.3) Як уже відзначалося вище, зазвичай, у комп’ютерної томографії використовується метод пакунки й протилежного проектування. Розглянемо співвідношення між цим методом і методом, викладених у теперішньому параграфі. Використовуючи інтегрування частинами, згортку з узагальненої функцією 1/z2 усунути дифференцированием і сверткой з 1/z (перетворенням Гільберта). Тобто функцію S (z, ?) = I (z, ?) [pic]1/z2 можна як S (z, ?) = Iz/(z, ?) [pic]1/z При побудові про чисельні алгоритмів замість узагальненої функції 1/z чи, що таке саме, інтеграла себто головного значення, в методі пакунки і зворотного проектування використовують деяку послідовність регулярних функцій pА (z), сходящуюся до 1/z (себто узагальнених функцій) при A яка прагне до нескінченності. Використовуючи інтегрування частинами, диференціювання переносять на функції pА (z) отже отримують регулярні функції, сходящиеся до 1/z2, тобто згортка з узагальненої функцією 1/z2 замінюється послідовністю пакунок до регулярних функціями p/А (z). Отже, крок пакунки у «класичному методі можна інтерпретувати так: вихідні дані аппроксимируются східчастої функцією і здійснюється згортка з регулярної функцією, що є наближенням узагальненої функцією 1/z2. У методі справжнього параграфа вихідні дані аппроксимируются більш гладенькими функціями — сплайнами 3-го порядку. Це дозволяє точно обчислити згортку з узагальненої функцією 1/z2, причому у явному вигляді. Крок зворотного проектування відповідний інтегрування пакунки в обох алгоритми однаковий. З використанням алгоритмів у реальних ситуаціях важливо вміти оцінювати вплив шумів на точність одержуваних наближень. Наявність явного висловлювання для апроксимуючої функції дозволяє обчислити дисперсию помилки у будь-який точці при фіксованих ?r, ??? відомих статистичних характеристиках шуму. Для випадку незалежного, аддитивного, стаціонарного шуму? (z) можна вчинити ось як зауваження. Розглянемо процес ?, є сверткой з 1/z2 процесу ?. Спектральна щільність цього лінійного перетворення є |?|. Для спектральних плотностей процесів? і? отримуємо співвідношення f? (?) = |?|2f? (?). ?исперсия процесу? кінцева, якщо интегрируема f? (?), ?про є процес? диференціюємо в среднеквадратическом. А, щоб згортка виражалася формулою (1.5.1), на процес? потрібно накласти додаткові умови, вимагаючи, наприклад, щоб вибіркові функції з ймовірністю одиниця мали кінцеву другу похідну. Кількісна моделювання та своєчасне відновлення щільності реальних об'єктів із використання методу, викладеного у цьому параграфі, показало високу точність методу, особливо в дослідженні об'єктів і дефектів, мають складну конфігурацію і ділянки з різкими межами. Приклади відновлення, з методів, викладені у теперішньому параграфі, наведено малюнку 3. Тестовий об'єкт складається з 10 частинок. Рис.3(слева) відповідає 10 поворотам і Рис. 3 (справа) відповідає 32 поворотам. [pic].

4.2. Приведення формул звернення томографической реконструкції в конусі променів до виду, що дозволяє будувати чисельні алгоритми. У комп’ютерній рентгенівської томографії тривимірний об'єкт представляється зазвичай, у вигляді набору тонких зрізів. Для відновлення щільності зрізу вирішується завдання звернення двумерного перетворення Радону. Для дослідження низки об'єктів природнішою є іншу схему, коли джерело випромінювання рухається за певною просторової кривою. Кожній точці кривою відповідає конус променів, що пропливали цю точку. Вихідними даними є дані послаблення випромінювання під час проходження через об'єкт. Математично ставиться завдання як завдання відновлення функції три змінні по интегралам вздовж прямих, що пропливали задану криву. Була отримана формула звернення для функцій, мають финитный носій, й у кривих, які відповідають певним умовам. Головним у умовах і те, будь-яка площину, яка перетинає об'єкт перетинає криву, через яку рухається джерело. Прикладом кривою, задовольняє умовам, є сукупність двох одиничних окружностей, лежачих у взаємно перпендикулярних площинах. Проте побудова про чисельні алгоритмів безпосередньо виходячи з цієї формули, важко. Річ, зокрема, у цьому, що формула звернення полягає в перетворення Фур'є від однорідної функції, одержуваної із вихідних даних. Причому перетворення Фур'є розуміється себто узагальнених функцій, а перетворення Фур'є в звичному значенні може існувати. У цьому параграфі наводяться висловлювання для використовуваного перетворення Фур'є, дозволяють при побудові про чисельні алгоритмів використовувати метод, викладений у минулому параграфі. Встановлюються й деякі співвідношень між результатами Нехай задано функція f (x) = f (x1, x2, x3), точка P. S = (s1, s2, s3) і вектор a = (a 1, a 2, a 3). Променевим перетворенням функції f (x) будемо називати функцію [pic], що є інтегралом від f (x) вздовж променя, що виходить із точки P. S в напрямі вектора a. Поруч із функцією [pic]в деяких ситуаціях розглядається функція [pic], що є інтегралом у всій прямій чи, що те ж саме, сумою з дитинства інтегралів вздовж променів з точки z у пріоритетних напрямках a іa. Безліч точок P. S, котрим відомо променеве перетворення зазвичай є безліччю точок, що належать деякою кривою, що є траєкторією руху джерела випромінювання. Нехай задана крива, через яку рухається джерело, Ф (l) = (Ф1(l), Ф2(l), Ф3(l)) параметр l пробіга певний інтервал Щ дійсною прямий. Для будь-якого a = (a 1, a 2, a 3) і l Про Щ визначимо функцію [pic]. Функція g (a, l) є інтеграл від функції f (x) вздовж який струменіє через точку Ф (l) у бік вектора a. Зазначимо, що за будь-якого фіксованому l функція [pic]является l однорідної функцією a ступеня -1: [pic]. (2.1.1) Для функцій, мають финитный носій, в [101] отримана формула: [pic]. (2.1.2) При фіксованому l функція G+(b, l) є перетворення Фур'є від функції [pic]по перемінної a, b = (cosq cosf, sinq cosf, sinf). У формулі (2.1.2) l залежить від x і b і вибирається з умов: скалярне твір (b, x) одно (b, f (l)), але (b, Ф (l)) не одно нулю. Значення функції f (x) може бути відновлене у точці x, коли таке l існує нічого для будь-якого b. Геометрично це, будь-яка площину, яка перетинає точку x носія функції, перетинає криву Ф (l) отже знаменник в (2.1.2) не звертається до нуль. Прикладом кривою, задовольняє умовам Кириллова-Туя, є сукупність двох одиничних окружностей, лежачих у взаємно перпендикулярних площинах, якщо носій лежать у одиничному кулі. Для циліндричних об'єктів можна використовувати гвинтову лінію. У формулу (2.1.2) входить G+(b, l) — перетворення Фур'є від функції [pic], проте перетворення Фур'є, розуміється у звичному значенні: [pic], у разі немає, оскільки [pic]является однорідної і має на нескінченності порядок 1/к a до. Преоразование Фур'є треба розуміти в сенсі узагальнених функцій. Оскільки [pic]однородная функція, то, при будь-якому фіксованому l вихідні дані, повністю визначаються своїми значеннями лежить на поверхні до a до =1. Перехід до функції, заданої в усьому просторі R3 під час використання перетворення Фур'є призводить до узагальненим функцій. Перетворення Фур'є себто узагальнених функцій є лінійним функционалом над відповідним простором. Докладніше звідси буде йдеться у наступних параграфах. Тут для нас важлива відзначити, що ні будь-який функціонал задається з допомогою регулярної функції. А, щоб використовувати формули типу (2) для побудови алгоритмів, необхідно показати, що [pic]задается з допомогою регулярної функції плюс нею висловлювання через функцію [pic]. Діяльність [101] дається вираз, що пов’язує [pic], при x відмінному від нуля з допомогою регулярних операцій із шуканої функцій f (x), тобто фактично показано, що функціонал [pic]задается з допомогою регулярної функції. Проте задля побудови алгоритмів томографической реконструкції потрібно [pic]выразить не через потрібну функцію f (x), а ще через вихідні дані [pic]. Отже, час торкнутися віднайденню [pic]. Ми використовуватимемо те, що [pic]является однорідної функцією по a фіксованому l. У [95] доведено таке Твердження: Нехай [pic]есть перетворення Фур'є себто узагальнених функцій від однорідної функції [pic], тоді [pic]. (2.1.3) Суворе доказ потребує суттєвої використання апарату узагальнених функцій, витлумачених як лінійні функционалы над відповідним простором. Тут ми обмежимося викладом основних моментів докази. Зокрема, заміну змінних в розбіжних інтеграли ми робитимемо за тими самими правилам, що у звичайних. Уявімо [pic]в вигляді [pic], (оскільки параметр l фіксований, його за цьому етапі можна опустити). Як уже відзначалося вище, інтеграл є розбіжним, тим щонайменше, переходячи до сферичним координатам зі звичайних правилам, отримуємо: [pic], де b = b (j, q) = (cosq cosj, sinq cosj, sinj), j Про [-p /2, p /2], q Про [0, p ]. З огляду на, що [pic], як і того, що інтегрування із чотирьох кутів j і q відповідає інтегрування по одиничної сфері, дійшли вираженню [pic]. Інтеграл по r є перетворення Фур'є від r ++. Використовуючи таблиці для перетворення Фур'є узагальнених функцій [19], дійшли вираженню (2.1.3). Для дійсних функцій f (x) у формулі (2) потрібна мнима частина [pic]: [pic]. Використовуючи узагальнені функції, зосереджені лежить на поверхні [19], отримуємо таке слідство: [pic]. Тут S (x) = {g Про S2Ѕ (x, g) = 0), [pic]v похідна в напрямі x. Підставляючи в (2.1.2) функції [pic]и [pic], залежать від параметра l, отримуємо формулу звернення, придатну для побудови про чисельні алгоритмів: [pic](2.1.4) Тут S (x) v окружність, що є перетином одиничної сфери, і площині P (b). Площину P (b) проходить через початок координат ортогональна вектору b. Символ W (x) означає інтегрування по окружності. Оператор L (b, D) означає диференціювання функції [pic]в напрямі вектора b: [pic], у своїй l, залежить від b і x, залишається фіксованим. Як вона та вище, b = b (q, j) = (cosq cosj, cosq sinj, sinq), l = l (q, j) = l (x, b) таке, що скалярне твір (x, b) одно (b, g (l)) і (b, g /(l)). У формулі (4) використовуються регулярні функції, і її придатна для побудови про чисельні алгоритмів. Зауваження. О. С. Денисюком незалежно та інших методом, без явного використання перетворення Фур'є узагальнених функцій, отримані формули звернення функції g+ в Rn. При n = 3 формули О. С. Денисюка і формули, одержувані викладеним способом з формули Туя, збігаються. Вище отримано формули, дозволяють будувати чисельні алгоритми відновлення функції f (x) = f (x1, x2, x3) з її променевому перетворенню [pic] Далі ми опускати символ f і використовувати позначення [pic]. При фіксованому P. S функція [pic]является функцією в тривимірному просторі, але з її однорідності існують поверхні, такі що [pic]полностью визначається своїми значеннями ними (поверхні розташування приймачів випромінювання). Вихідні дані як функції [pic]удобно використовувати, якщо матриця приймачів розташована на сфері. Однак у реальних ситуаціях матрицю приймачів зазвичай мають на площині чи поверхні циліндра. У цих випадках зручно використовувати іншій вид вихідних даних. Плоський детектор. Ми будемо припускати, що з джерела, що у точці P. S = (s1, s2, s3), вихідні дані реєструються у площині P, обумовленою рівнянням xs1 + ys2 + zs3 = -Ѕ SЅ. Площину P, такими умовами: площину P перпендикулярна променю, що з'єднує джерело з початком координат; площину P проходить через точку P. S= (s1, s2, s3.) Відстань D між площиною реєстрацію ЗМІ й джерелом одно подвоєному відстані джерела на початок координат. У площині реєстрації будемо використовувати прямокутну систему координат (p1, p2), започаткована ще перебуває у точці перетину з лучем, що з'єднує джерело до точки (0, 0, 0). Отже, якщо джерело перебуває у точці P. S = (s1, s2, s3), то початок системи координат (p1, p2) у площині спостереження перебуває у точці з тривимірними координатамиs1, -s2, -s3 =- P. S. При реконструкції в конусі променів найпоширенішими прикладами траєкторій джерела є гвинтова лінія і сукупність двох окружностей що у від перетинання площинах. Траєкторія як двох окружностей. Розглянемо окружність, що лежить у площині z =0. Напрям осі p2 у площині реєстрації збігатиметься із напрямом осі z. Вісь p1 системи координат візьмемо на лінії перетину площині реєстрації з площиною, що містить окружність, через яку рухається джерело. Для визначення системи координат необхідно вибрати з двох можливих напрямів осі p1. Якщо s3 = 0, s1 = r cosl, s2 = r sinl (джерело рухається у площині z =0), то позитивний одиничний вектор на осі p1 виберемо те щоб він збігався з вектором (cos (l +p /2), sin (l +p /2), 0) = (-sinl, cosl, 0) = (-s2/Ѕ SЅ, s1/Ѕ SЅ, 0). Крапка, має у площині реєстрації координати (p1, p2), має такі просторові координати: x = -p1 sinl — r cosl = -p1 s2 /Ѕ SЅ - s1, y = p1 co l — r sinl = p1 s1 /Ѕ SЅ - s2, z = p2. Що стосується плоского детектора, вихідними даними є інтеграли по променям, що з'єднує точки (p1, p2) у площині реєстрації з джерелом P. S. Регистрируемая функція gr (p1, p2, l) є інтеграл від шуканої функції f (x) = f (x1, x2, x3) вздовж променя що виходить із точки P. S = (s1, s2, s3) = (rcosl, r sinl, 0) у бік точки P = (-p1 sin l — rcosl, p1 cosl — r sinl, p2) = (-p1 s2/Ѕ SЅ v s1, p1 s1/Ѕ SЅ v s2, p2). Інтегральна форма зареєстрованим функції має вигляд: [pic] При t = 0 промінь проходить через точку P. S = (rcosl, rsinl, 0), при t = 1 v через точку P = (p1, p2) = (-p1 sin l — rcosl, p1 cosl — r sinl, p2). Отже, маємо співвідношення між функціями gr (p1, p2, l) і [pic]: [pic], [pic]. Поруч із позначенням gr (p1, p2, l), ми будемо використовувати позначення gr (p1, p2, S (l)), gr (p1, p2, P. S) і gr (P, P. S), тут S (l) точка на траєкторії джерела, відповідна параметру l, P = (p1, p2). Ми висловили функцію gr (p1, p2, l) через функцію [pic]= g+ (x, l). У формулі звернення променевого перетворення використовується функція g+ (x, l) =[pic] у тому, щоб використовувати gr (p1, p2, l), регистрируемую в разі плоского детектора, потрібно висловити g+ (x, l) використовуючи gr (p1, p2, l). Для подальшого нам знадобляться координати (p1, p2) (у системі координат площині реєстрації) точки перетину площині реєстрації даних із лучем (P.S +tx) = (s1 + tx 1, s2 + tx 2, s3 + tx 3). Ці координати мають вид: [pic] [pic]. [pic]. Нині ми можемо висловити [pic]используя gr (p1, p2, l): [pic]= g+ (x, l) = gr (2 Ѕ S (l)Ѕ (s2(l)x 1 v s1(l)x 2) /[pic], -2Ѕ S (l)Ѕ 2×3 /[pic], l), якщо [pic]< 0, [pic]= 0, якщо [pic]і 0. Отже, маємо таке співвідношення між функціями: g+ (P, l) і [pic]= g+ (x, l); P = (p1, p2), x = (x 1, x 2, x 3,); [pic]= g+ (x, l) = = gr (2 Ѕ S (l)Ѕ (s2(l)x 1 v s1(l)x 2) /[pic], — 2Ѕ S (l)Ѕ 2×3 /[pic], l), якщо [pic]< 0, [pic]= 0, якщо [pic]і 0. При переході від функції g+ (x, l) = [pic]к функції gr (P, P. S) інтегрування навкруг S (l) в тривимірному просторі замінюється на інтегрування за прямими лініях у площині реєстрації. Зазначимо, що формули звернення променевого перетворення, використовують інтегрування вздовж прямих у площині регистрации.

4.3 Елементи теорії узагальнених функцій стосовно завданням звернення променевого перетворення Узагальнена функція це безперервний лінійний функціонал просторі До всіх функцій a (x), мають похідні всіх порядків і финитный носій (свій кожної з функцій? (x)). Будь-яка регулярна интегрируемая функція f (x) задає лінійний функціонал (f, a):

[pic]. (2.2.1) Проте за просторі функцій K існують безперервні лінійні функционалы, які може бути задано з допомогою регулярних интегрируемых функцій, найвідомішими прикладами таких функционалов є ?-функція та її похідні. Іншим широко відомим прикладом є функціонал, заснований на функції (1/x)dx. Функція 1/x x є регулярної, проте не є интегрируемой. При завданні відповідного функціоналу интеграл.

[pic](2.2.2) розуміється себто головного значения:

[pic]. Таке розуміння інтеграла використовується щодо перетворення Гільберта від функції? (x) як пакунки з функцією 1/xx.. Перетворення Гільберта використовується, зокрема, на одній із формул звернення перетворення Радону в двовимірному просторі. Ця формула зазвичай наводиться в довідниках по комп’ютерної рентгенівської томографії. Проте метод пакунки й протилежного проектування, часто використовуваний при побудові про чисельні алгоритмів томографической реконструкції, грунтується на трохи іншому вигляді формули звернення перетворення Радону. У цьому вся методі сутнісно використовується згортка проекційних даних послідовністю функцій збіжних до 1/xx2 себто узагальнених функцій. Лінійний функціонал, відповідний функції 1/xx2, чи, що таке саме, узагальнена функція 1/xx2 визначається за формулою [19].

[pic](2.2.3) Інтеграл в (2.2.3) сходиться у звичному значенні для будь-який функції a (x) з простору основних, і навіть у ширшого класу, функцій. У формулах звернення перетворення Радону використовується згортка даних із функцією 1/xx2. Згортка узагальнених функцій визначається так. Нехай задано два функціоналу f і g. Дія функціоналу f *g що є їх сверткой, на функцію a з простору основних задається формулой.

(f *g, a)= (fx, gy, a (x + y))). (2.2.4) Тут gy означає, що функціонал діє функцію a, як функцію перемінної y, а функціонал f діє отриману функцію перемінної x. Якщо функционалы f і g можна поставити регулярними функцій, то функціонал пакунки певний формулою (2.2.4) можна поставити функцією, що є сверткой відповідних функцій у звичному значенні. Тут потрібно зробити одне зауваження. Навіть якщо його функція однієї перемінної a (t) має финитный носій, функція двох змінних a (x + y) не є функцією з финитным носієм. Це означає, що існування функціоналу f *g для конкретних функционалов f і g чи необхідно доводити. Відомо, що з існування функціоналу пакунки, досить, щоб одне із функционалов мав финитный носій. Коли дивитися на завдання томографії, те з функцією 1/xx2 звертаються вихідні дані, які регулярні і мають финитный носій. Можна показати також, що необхідна згортка виражається формулой:

S (r, j) = I (r, j) * (-1/p r2) =.

[pic](2.2.5) У реальних ситуаціях функція I (r, j) відома деякому дискретному безлічі точок. А, щоб використовувати формулу (2.2.4) потрібно побудувати апроксимацію функції I (r, j), таку що інтеграл у правій частині можна буде. Інтеграл (2.2.4) явно сходиться, якщо функція I (r, j) належить безлічі K, тобто має финитный носій і є нескінченно дифференцируемой. Проте апроксимація даних нескінченно дифференцируемой функцією може виявитися громіздкою при побудові про чисельні алгоритмів. З іншого боку, використання нескінченно дифференцируемых функцій може спричинить заглаживанию кордонів областей з різко несхожими плотностями. Для збіжності інтеграла в (2.2.5) досить, щоб функція I (r, j) мала в кожній фазі кінцеві односторонні похідні першого порядку по перемінної r. Це дозволяє, зокрема, використовувати кубічні сплайны для побудови апроксимації функції I (r, j). Основними операціями з узагальненими функціями, які у завданнях томографії, є згортка, диференціювання і перетворення Фур'є. Основна ідея визначення операцій у тому, деякі властивості функционалов, поставлених регулярними функціями, беруться в основі щодо відповідних операцій над узагальненими функціями, можуть бути лінійними функционалами. І на цій основі побудовано наведене вище визначення пакунки. Особливо це й наочно цей прийом можна продемонструвати щодо операції диференціювання узагальнених функцій. Нехай лінійний функціонал f задається регулярної функцією f (x) має интегрируемую похідну. Для дії похідною на функцію a (x) з простору основних можна записати равенство.

[pic], (2.2.6) тут використано інтегрування частинами і те, що a (x) дорівнює нулю поза деякого кінцевого інтервалу. Наведене вище властивість береться в основі щодо похідною узагальненої функції. Нехай заданий функціонал f, його похідною називається функціонал f/, визначається рівністю [pic]. Оскільки функції з простору основних нескінченно дифференцируемы, то визначення є коректним і узагальнені функції мають похідні будь-якого порядку. Перейдемо до визначення перетворення Фур'є себто узагальнених функцій. У приводившихся вище визначеннях функції, що входять до простір основних, були справжніми. При визначенні перетворення Фур'є доцільно як основних розглянути комплекснозначные функції. Нехай K простір комплексних основних функцій (нескінченно дифференцируемых з финитным носієм). Кожній комплекснозначной локально интегрируемой функції f (x) ставлять у відповідність функционал.

[pic], [pic]комплексно пов’язані з f (x), a (x) Про K. Безліч всіх лінійних безперервних функционалов на K утворює комплексне простір узагальнених функцій K/. Означимо через Z — безліч функцій, є перетвореннями Фур'є функцій з K. Перетворенням Фур'є елемента f з простору K називається функціонал g просторі Z, діючий по формуле.

(g, y) = 2 p (f, a), (2.2.7) тут j такий елемент з K, котрій перетворення Фур'є є y. Те є щоб обчислити дію функціоналу g на функцію y (l) з простору Z, потрібно: знайти таку функцію a (x) з простору K, перетворенням Фур'є, якої є функція y (l); знайти дію функціоналу f на знайдену функцію a (x). Простору основних функцій і функционалов з них обрані нами так, що обидві кроку завжди здійсненні. Тут слід звернути увагу, що узагальнені функції та його перетворення Фур'є визначаються як лінійні функционалы над різними основними просторами. Причому функції з багатьох Z, у якому діють перетворення Фур'є, є функціями з финитными носіями, але усе ще нескінченно дифференцируемым. Що дозволяє зберегти багато корисні властивості узагальнених функцій. У формулах звернення променевого перетворення, у яких засновані алгоритми рішення завданнях тривимірної комп’ютерної томографії, використовується перетворення Фур'є однорідних функцій. Класичне перетворення Фур'є таких функцій немає, перетворення Фур'є в формулах розуміється в сенсі узагальнених функцій. Розглянемо кілька докладніше це питання з погляду можливості побудови відповідних про чисельні алгоритмів в тривимірному просторі. Нагадаємо визначення променевого перетворення, що було дано в попередніх параграфах. Променевим перетворенням функції f (x) = f (x1, x2, x3) називається функция.

[pic], (2.2.8) що є інтегралом від f (x) вздовж променя, що виходить із точки P. S = (s1, s2, s3) у бік вектора a = (a 1, a 2, a 3). Як уже відзначалося вище, в поруч із функцією [pic]рассматривается функция.

[pic], що є інтегралом у всій прямій чи, що те ж саме, сумою з дитинства інтегралів вздовж променів з точки P. S у пріоритетних напрямках a і - a. Обидві функції є однорідними ступеня -1, тобто їм виконуються равенства.

[pic], [pic]. Наголосимо також на, що [pic]является четной, а функція [pic]таковой не є. Поняття однорідності ступеня l можна природним чином розширити на узагальнені функції, беручи в основі рівність g (g x) = g l g (x). У термінах дії на основної функції j рівність запишеться як (g, j (x/g) = g l +n (g, j (x)), тут g v будь-яке речовинне число більше нуля, n n — розмірність простору, у якому задано основні функції. У інтегральному поданні узагальнених функцій показник n виникає при відповідної заміні змінних в dx. Відомо, що перетворення Фур'є однорідної узагальненої функції, теж є однорідної узагальненої функцією. Для интегрируемых, обмежених і має обмежений носій, функцій f їх променеве перетворення є регулярної однорідної функцією. З результатів робіт слід, що у тривимірному просторі перетворення Фур'є таких функцій, розуміється в узагальненому сенсі, задається регулярної функцією. Регулярна однорідна функція задається своїми значеннями на одиничної сфері. Отже, в практичних ситуаціях при инвертировании променевого перетворення нас цікавить співвідношення між двома функціями. Один із них звуженням на одиничну сферу променевого перетворення, а інша — звуженням на одиничну сферу перетворення Фур'є променевих даних, витлумаченого себто узагальнених функцій. Таке перетворення між функціями, заданими на одиничної сфері природно назвати перетворенням Семянистого, що у його роботі вперше отримані подібні співвідношення для симетричних однорідних функцій в n-мерных просторах. Як уже відзначалося вище, функція [pic]не є симетричній, нею відповідні співвідношення для функцій на одиничних сферах в тривимірному просторі були отримані попередніх параграфах. Раніше було розглянуто формули звернення променевого перетворення, засновані на явному використанні узагальнених функцій, і прийоми, дозволяють приводити ці формули до виду зручного для побудови про чисельні алгоритмів. До висновку формул звернення променевого перетворення є ще один підхід, не використовує узагальнені функції вочевидь. Ми покажемо тут, що фактично його теж грунтується на використанні перетворення Фур'є в сенсі узагальнених функцій. Променевими даними називається функция.

[pic], Ф = (Ф1, Ф2, Ф3) Про R3, b Про S2 (S2 v одинична сфера). (Неважко бачити, що в позначеннях це функція [pic]). У формулах звернення використовуються такі функции:

[pic](2.2.9).

[pic], (2.2.10) (S2/2 — половина одиничної сфери), [pic]- скалярне твір векторів [pic]и [pic]. Формули звернення до має вид.

[pic], (2.2.11) де [pic], R v радіус кулі, де міститься носій функції f (х), [pic]-элемент поверхні на одиничної сфері. Якщо будь-якого l, такого, що Ѕ lЅ < R і жодного b Про S2/2 існує точка Ф на траєкторії джерела така, що Ф Ч b = l (виконуються умови Кириллова-Туя), то формула (2.2.11) можна використовувати визначення функції f (х). У відзначається, що функція F при тривимірної томографической реконструкції в конусі променів певною мірою аналогічна ролі перетворення Фур'є в двумерной томографії. Це перестав бути випадковим. Справді, в показано, перетворення Фур'є по b себто узагальнених функцій від функції g (b, Ф) має вид.

[pic]. (2.2.12) Знаменник в (2.2.12) то, можливо нульовий, і (2.2.12) слід розуміти себто узагальнених функцій. У доведено таке твердження. Якщо f j Про C2, то.

[pic].

[pic]. (2.2.13) З огляду на (2.2.13), (2.2.12) і (2.2.10) бачимо, що функція [pic], є перетворенням Фур'є себто узагальнених функцій функції g (b, F), а функція F у формулі звернення визначається функцією [pic].

4.4. Співвідношення між перетвореннями Радону, Фур'є і променевим перетворенням. У попередніх параграфах було розглянуто формули безпосереднього звернення променевого перетворення. Є також методи томографической реконструкції, засновані попередньому обчисленні перетворення Фур'є шуканої функції або її перетворення Радону. Як зазначалося раніше, у разі двох змінних променеве перетворення і перетворення Радону збігаються. У тривимірному просторі v це ж різні перетворення. Для суті методів томографії дуже потрібні співвідношень між різними видами перетворень. Багато такі співвідношення можна отримати просторах будь-який розмірності. Але тут ми, зазвичай, розглядати практично важливі випадки двох й трьох змінних. Співвідношення між перетвореннями Радону і Фур'є. Нехай [pic]- перетворення Фур'є функції f (x1, x2, x3): [pic]. Інтегруючи спочатку при фіксованому p по площині l 1×1 + l 2×2 + l 3×3 = p, та був по p дійшли добре відомий вираженню, єднальному перетворення Фур'є і Радону [pic]. (2.3.1) Співвідношення між перетворенням Радону і перетворенням Фур'є променевих даних. У [21] запропонований спосіб инвертирования променевого перетворення, заснований у тому, що у вихідним даним відновлюється перетворення Радону функції f (x) [pic], що дозволяє по відомим формулам відновити f (x). При виведення формул звернення до роботі використовується функція [pic]. (2.3.2) Можна показати що з функцій [pic]и [pic]справедливо співвідношення [pic], (2.3.3) тут З v деяка константа. Рівності (2.3.2) і (2.3.3) дають зв’язок між перетворенням Радону і променевим перетворенням в тривимірному просторі: [pic], (2.3.4) Наголосимо також на, що позаяк [pic], [pic]. Рівність (2.3.4) то, можливо записано як [pic]. З останнього рівності та визначенням функції [pic]следует, що [pic]функция x постійна на площинах, ортогональних вектору x, оскільки всім x, що належать у такій площині, скалярне твір (x, x) одно константі. Це є основою багатьох методів звернення променевого перетворення. Це твердження отримано в [40], для випадку комплексних просторів. Для дійсних просторів це твердження міститься у роботах. Воно й можна використовувати на відновлення функції [pic]в точках x, що належать області D, по значенням їхньому межах. Співвідношення між перетворенням Фур'є променевих даних, і перетворенням Фур'є шуканої функції f (x). Діяльність отримано рівність: [pic], (2.3.5) встановлює зв’язок між перетворенням Фур'є променевих даних, і перетворенням Фур'є самої функції f, перетворення Фур'є розуміється в сенсі узагальнених функцій. А, щоб використати цю формулу для перебування функції f треба мати формули для обчислення узагальненого перетворення Фур'є по променевим даним. Такі формули було наведено вище. На закінчення, хотілося сказати, розкриття того безлічі питань, порушених у цій роботі, можна було б продовжувати ще дуже довго, так що кілька тим представлені кілька ужато. Особливу увагу представляло вивчення саме технічної (фізичної, якщо хочете) боку комп’ютерної томографії, як методу діагностики. Зауважень на роботу може, у принципі, виникнути багато, проте сподіваюся сталася на кілька зверхнє ставлення — терміни були стислі, питання — великий (та й процес написання переривався — пошуровал в комп’ютері win95. cih).

5. ВИКОРИСТОВУВАНА ЛИТЕРАТУРА.

1. Розенштраух К. С. Невидиме стало зримим (успіхи і проблеми променевої діагностики).- М.: Знання, 1987. 64 с.

2. Томографія грудної клітини / Помозгов А.І., Терновий С. К., Бабий.

Я.С., Лепихин М. М. — К.:Здоровья, 1992. 288 с.

3. Комп’ютерна томографія мозку. Верещагін Н.В., Брагіна Л.К.,.

Вавілов С.Б., Левіна Г. Я.-М.:Медицина, 1986.-256 с.

4. Коновалов О. Н., Корнієнко В.М. Комп’ютерна томографія в нейрохірургічної клинике.;

М.: Медицина, 1988. — 346 с.

5. Фізика візуалізації зображень до медицини: У 2-х томах.

Т.1:Пер. з англ./Под ред. С.Уэбба.-М.:Мир, 1991. 408 с.

6. Антонов А. О., Антонов О. С., Лыткин С.А.//Мед.техника.-1995. № 3 — с.3−6.

7. Бєлікова Т.П., Лапшин В. В., Яшунская Н.И.//Мед.техника.-1995. № 1- с. 7.

———————————- 1.

ВВЕДЕНИЕ

.

1.1. РОЗВИТОК КОМП’ЮТЕРНОЇ ТОМОГРАФІЇ 2. ФІЗИЧНІ І ТЕХНІЧНІ ОСНОВЫ ТОМОГРАФИИ.

2.1. ПРИНЦИПИ ОСВІТИ ПОСЛОЙНОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ.

2.2. ОТРИМАННЯ КОМП’ЮТЕРНОЇ ТОМОГРАММЫ.

2.3. ПОСИЛЕННЯ КОНТРАСТНОСТІ 3. ЦИФРОВЫЕ РЕНТГЕНОГРАФИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ.

3.1. СКЛАД ТЕХНІЧНИХ ЗАСОБІВ АМР ВР.

3.2. ОБЛАСТІ ЗАСТОСУВАННЯ І ПЕРЕВАГИ ЦИФРОВИХ СИСТЕМ.

3.3. Цифрова рентгенографія з екрана електронно-оптичного перетворювача (ЭОП).

3.4. Цифрова люмінесцентна рентгенографія (ЦЛР).

3.5. Селеновая рентгенография.

4. МАТЕМАТИЧНІ ОСНОВЫ КОМП’ЮТЕРНОЇ ТОМОГРАФИИ.

4.1 Математична завдання рентгенівської комп’ютерної томографії, перетворення Радону і формули обращения.

4.2. Приведення формул звернення томографической реконструкції в конусі променів до виду, що дозволяє будувати чисельні алгоритмы.

4.3. Елементи теорії узагальнених функцій стосовно завданням звернення променевого преобразования.

4.4. Співвідношення між перетвореннями Радону, Фур'є і променевим перетворенням. 5. ВИКОРИСТОВУВАНА ЛИТЕРАТУРА.

Выполнил: студент грн. МИД-199 Чирков До. В.

Проверил: Новиков До. В.??