Похідна суми, добутку та частки з наведеними прикладами

Реферат на тему: «Похідна суми, добутку та частки з наведеними прикладами».

Теорема: Якщо функції u (x) і ((x) мають похідні у всіх точках інтервалу ]a; b[, то.

(u (x)((x))' = u'(x)(('(x).

для любого х є ]a; b[. Кортше,.

(u (()' = u (('.

Доведення: Суму функцій u (x)+((x), де х є ]a; b[, яка представляє собою нову функцію, позначим через f (x) і найдем похідну цієї функції,.

Нехай х0 — деяка точка інтервала ]a; b[.

Так як х0 — допустима точка інтервала ]a; b[, то маєм:

Випадок добутку розглядається аналогічно. Теорема доведена.

Наприклад,.

Зауваження. Методом математичної індукції доводиться справедливість формули (u1(x) + u2 (x) +… кінцевого числа складених.

Теорема. Якщо функції u (x) і ((x) мають похідні у всіх точках інтервала ]a; b[, то.

для любого х є ]a; b[. Коротше,.

х є ]a; b[, і найдем похідну цієї функції, виходячи із опреділення.

Нехай х0 — деяка точка інтервала ]a; b[. Тоді.

Навіть так як.

то.

Так як х0 — вільна точка інтервала ]a; b[, то маєм.

Теорема доведена.

Приклад,.

Наслідок. Постійний множник можна виносити за знак похідної:

Доведення. Застосувавши множник можна виносити за знак теорему про похідну де, а — число, отримаєм.

Приклади.

Похідна частки двох функцій .

для любого х є ]a; b[, то.

для любого х є ]a; b[.

використовуючи опреділення похідної.

Нехай х0 — деяка точка інтервала ]a; b[.

Тоді,.

Навіть, так як.

то.

і послідовно.

Так як х0 — вільна точка інтервалу ]a; b[, то в послідній формулі х0 можна замінити на х. Теорема доведена.

Приклади.

Формули (3) (стор 20) [2] Д. М. Роматовський «Збірник задач з ТМ».

Літ [4] табл.6 стор 323 А. М. Кменжова і В. А. Малов «Довідник з ТМ» т.І.