Розв'язування задач сфероїдної геодезії
Завдання 9. Пряма задача проекції Гауса-Крюгера (перехід з поверхні еліпсоїду на площину) Прямою задачею Гауса — Крюгера називають розв’язування завдання переходу з поверхні еліпсоїду на площину з метою визначення прямокутних координат пунктів, якщо вихідними даними є геодезичні координати B, L початкового пункту А, довжина геодезичної лінії s та азимуту ААВ вихідної сторони АВ мережі геодезичних… Читати ще >
Розв'язування задач сфероїдної геодезії (реферат, курсова, диплом, контрольна)
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ВОДНОГО ГОСПОДАРСТВА ТА ПРИРОДОКОРИСТУВАННЯ СЛОВ’ЯНСЬКИЙ НКЦ Курсова робота З дисципліни: ВИЩА ГЕОДЕЗІЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ СФЕРОЇДНОЇ ГЕОДЕЗІЇ
Виконав: студент групи ЗВК — 42
Нікітін О.О.
Слов’янськ 2010 р.
ЗМІСТ трикутник лежандр аддитамент геодезичний Вступ Завдання 1. Обчислення довжини дуги меридіану Завдання 2. Обчислення довжини дуги паралелі
Завдання 3. Обчислення довжини сторін та площі знімальної трапеції
Завдання 4. Наближене розв’язування трикутників за теоремою Лежандра Завдання 5. Наближене розв’язування трикутників способом аддитаментів Завдання 6. Розв’язування прямої геодезичної задачі способом допоміжної точки (спосіб Шрейбера) Завдання 7. Розв’язування прямої геодезичної задачі за формулами Гауса із середніми аргументами Завдання 8. Розв’язування оберненої геодезичної задачі за формулами Гауса із середніми аргументами Завдання 9. Пряма задача проекції Гауса-Крюгера (перехід з поверхні еліпсоїду на площину) Завдання 10. Розрахунок геодезичних координат пункту за плоскими прямокутними координатами
Вступ Визначення параметрів земного еліпсоїда і форми земної поверхні становить велику наукову зацікавленість та має важливе значення для практичної і інженерної геодезії, для топографії і картографії, а також для багатьох суміжних наук: астрономії, геофізики, геодинаміки тощо.
Вивчення геометрії земного еліпсоїда та методів розв’язування задач на його поверхні складає вагому частину змісту курсів «Основи вищої геодезії» та «Вища геодезія». Ці питання, а також питання зображення поверхні еліпсоїда на площині відносяться до частини вищої геодезії, яка історично отримала назву «сфероїдна геодезія» .
Вища геодезія вивчає фігуру та зовнішнє гравітаційне поле Землі, методи створення систем геодезичних координат на всю поверхню Землі або на окремі її ділянки, а також способи визначення положення точок земної поверхні в тій чи іншій системі координат.
Завдання вивчення фігури та гравітаційного поля Землі, як основної задачі вищої геодезії, розв’язується за результатами вимірів на земній поверхні. Це геодезичні виміри в мережах тріангуляції, трилатерації, полігонометрії та нівелювання 1 класу, а також супутниково-навігаційні спостереження з метою визначення координат точок земної поверхні. Методи постановки та виконання вказаних вимірів складають предмет першої частини вищої геодезії.
Друга частина вищої геодезії - теоретична основа розв’язування основної задачі. В ній розглядаються і встановлюються аналітичні залежності між результатами вимірів і фігурою Землі та її гравітаційним полем.
Вища геодезія, в тому числі її частини — сфероїдна геодезія та теоретична геодезія, є однією із основних дисциплін, що забезпечує необхідну теоретичну і практичну спеціальну підготовку фахівців геодезичного профілю.
Завдання 1. Обчислення довжини дуги меридіану А1 — точка на меридіанному еліпсі з широтою В1. А2 — точка на меридіанному еліпсі з широтою В2.
Загальна формула для дуги меридіану довільної довжини:
(4)
A, B, C, D — сталі коефіцієнти прийнятого референт-еліпсоїду; с — число кутових одиниць в одному радіані; - середня широта дуги А1 А2.
Формула для довжини дуги меридіану при обчисленнях в тріангуляції на віддалі порядку сотень кілометрів:
(6)
Радіус кривизни меридіану перерізу Mm обчислюється за середньою широтою Bm.
За умови точності широти точки mB = ±0.0001″ всі зазначені формули забеспечують середню квадратичну помилку довжини дуги меридіану
mS = ±0.001 м.
Вихідні дані
Номер варіанту № 8
В1 | 48?30?48.1111″ - 8? | 48?22?48.1111″ | 48,38 003 086 | |
В2 | 49?30?49.1111″ + 8? | 49?38?49.1111″ | 49,64 700 617 | |
Сталі величини
a | 6 378 245 м | e2 | 0,669 342 | с? | 57,29 577 951 | |||
A | 1,506 238 | B | 0,506 238 | C | 0,1 062 | D | 0,2 | |
Обчислення довжини дуги меридіану за формулою (4):
Позначення дій | Результати | |
49,1 351 852 | ||
6 335 552,727 | ||
0,2 222 460 | ||
— 0,1 563 | ||
— 0,22 | ||
0,0 | ||
s (м) | 140 902,722 | |
Обчислення довжини дуги меридіану за формулою (6):
Позначення дій | Результати | |
0,99 809 115 | ||
6 371 972,436 | ||
140 902,730 | ||
— 0,5 | ||
s (м) | 140 902,723 | |
Завдання 2. Обчислення довжини дуги паралелі
А1 та А2 — точка на паралелі з широтою В. L1 та L2 довготи точок А1 та А2.
Паралель на земному еліпсоїді утворює коло. Радіус r паралелі з широтою В виражається формулою:
N — радіус кривизни перерізу першого вертикалу. Переріз першого вертикалу — це крива на поверхні еліпсоїду, утворена перетином поверхні еліпсоїду нормальною площиною, яка перпендикулярна до площини меридіанного перерізу у даній точці.
— перша функція геодезичної широти;
a — велика піввісь та e — перший ексцентриситет референт-еліпсоїду.
Дуга паралелі між точками А1 та А2 є дугою кола з центральним кутом, який дорівнює різниці довгот кінцевих точок дуги л = L2 — L1. Довжина s дуги паралелі з широтою В, яка відповідає різниці довгот л = L2 — L1, виражається формулою. Остаточно:
(10)
За умови точності широти і довгот точок mB = mL ±0.0001″ формула (5) забеспечує середню квадратичну помилку довжини дуги паралелі
mS = ±0.001 м.
Вихідні дані
Номер варіанту № 8
B | 48?30?48.1111″ - 8? | 48?22?48.1111″ | 48,38 003 086 | |
L1 | 25?30?25.1111″ - 8? | 25?22?25.1111″ | 25,37 364 197 | |
L2 | 27?30?27.2222″ + 8? | 27?38?27.2222″ | 27,64 089 506 | |
Сталі величини
a | e2 | 0,669 342 | с? | 57,29 577 951 | ||
Обчислення довжини дуги паралелі за формулою (10):
Позначення дій | Результати | |
2,26 725 309 | ||
0,99 812 791 | ||
6 390 208,045 | ||
s (м) | 167 951,005 | |
Завдання 3. Обчислення довжини сторін та площі знімальної трапеції
Сторони знімальної трапеції чи листа карти заданого масштабу є лініями меридіанів та паралелей на поверхні земного еліпсоїду. Тому обчислення натуральних розмірів та площі знімальної трапеції - це визначення частини поверхні еліпсоїду в межах ліній меридіанів та паралелей, які окреслюють лист карти заданого масштабу.
Розміри знімальної трапеції на поверхні еліпсоїду описуються наступними параметрами:
— південна a1 та північна a2 сторони, які на поверхні еліпсоїду є дугами паралелей з широтами B1 і B2, та окреслюються меридіанами з довготами L1 і L2;
— західна та східна сторони с, які на поверхні еліпсоїду є дугами меридіанів, окреслених паралелями з широтами B1 і B2, тому завжди рівні між собою;
— діагональ d трапеції:
(11)
Формули розрахунку довжин дуг a1 та a2 на широтах відповідно B1 і B2:
(12)
(13)
Для вираження площі трапеції P маємо робочу формулу вигляду:
(15)
де b — мала піввісь і A', B', C' - сталі коефіцієнти прийнятого референц-еліпсоїду. Формула забезпечує розрахунок площі трапеції із середньою квадратичною помилкою не більше mp = ±0,0005 км2.
Задано геодезичні координати точки А (BA, LA) на поверхні земного еліпсоїду. Визначити приналежність точки, А знімальній трапеції масштабу 1:50 000, номенклатуру та геодезичні координати рамки відповідного листа карти і розрахувати довжини сторін та площу цієї трапеції.
Вихідні дані
Номер варіанту № 8
BA | 48?01?01.1111″ + 7?*8 | 48,95 030 864 | |
LA | 22?11?11.1111″ + 30?*8 | 26,18 641 975 | |
Сталі величини
Геодезичні координати сторін трапеції
B1 | 48?50? | 48,83 333 333 | |
B2 | 49?00? | 49,0 | |
L1 | 26?00? | 26,0 | |
L2 | 26?15? | 26,25 | |
Обчислення довжини сторін трапеції за формулами (11),(12),(13),(14).
Позначення дій | Результати | Позначення дій | Результати | |
0,99 810 160 | 0,99 809 194 | |||
6 390 376,482 | 6 390 438,348 | |||
18 354,212 | 18 293,253 | |||
(см карти) | 36,71 | (см карти) | 36,59 | |
48,91 666 667 | ||||
0,998 096 769 | ||||
6 371 864,921 | ||||
с (м) | 18 535,004 | d (м) | 26 063,473 | |
с (см карти) | 37,07 | d (см карти) | 52,13 | |
Обчислення площі трапеції за формулою (15).
Позначення дій | Результати | Позначення дій | Результати | |
352 641,2223 | 0,95 901 | |||
— 0,410 | — 0,1 | |||
Р (км2) | 339,630 | Р (га) | 33 963,07 | |
Завдання 4. Наближене розв’язування трикутників за теоремою Лежандра Після визначення кінцевих значень виміряних кутів або напрямів у тріангуляції на поверхні еліпсоїду розпочинають розв’язування трикутників, яке зводиться до послідовного обчислення довжин їх сторін за одним виміряним базисом і кутами трикутників. При довжинах сторін до 90 км розбіжностями між поверхнею еліпсоїду і сферою можна нехтувати, а трикутники вважати сферичними.
Теорема Лежандра: Малий сферичний трикутник АВС можна розв’язувати як плоский, якщо кожний з його кутів А, В, С зменшити на третину сферичного надлишку.
Розв’язати два малих сферичних трикутники, зображених на схемі, якщо:
— довжина вихідної сторони с1 = (60 000 — 500*8) метрів;
— середня широта Bm = 48?01?01.1111″ + 7?*8.
Виміряні сферичні кути трикутників приведено в таблиці.
Вихідні дані
Номер варіанту № 8
Довжина вихідної сторони | с1 = (60 000 — 500*8) | ||
Середня широта | 48?57?01.1111″ | 48,95 030 864 | |
Сталі величини
b | 6 356 863,019 | e2 | 0,669 342 | с? | 57,29 577 951 | |
Результати вимірів кутів
№ трикутника | Позначення кутів | Виміряні сферичні кути | |
A1 | 78?27?09.18″ | ||
B1 | 51?33?02.51″ | ||
C1 | 49?59?51.20″ | ||
A2 | 59?25?19.10″ | ||
B2 | 51?46?48.52″ | ||
C2 | 68?47?54.33″ | ||
Робочі формули:
Радіус сфери
6 381 154,368 м.
Трикутник № 1:
; ;
; .
Трикутник № 2:
; ;
; .
Відомість наближеного розв’язування трикутників
Верш. | Виміряні сферичні кути | Виправлені сферичні кути | Виправлені плоскі кути | Синуси кутів | Довжини сторін | |||
C | 49?59?51.20″ | 1,689 | 49?59?52.888″ | — 2,652 | 49?59?50.237″ | 0,76 601 402 | 56 000,000 | |
B | 51?33?02.51″ | 1,689 | 51?33?04.198″ | — 2,652 | 51?33?01.547″ | 0,78 315 577 | 57 253,160 | |
A | 78?27?09.18″ | 1,689 | 78?27?10.868″ | — 2,652 | 78?27?08.217″ | 0,97 975 833 | 71 625,930 | |
У1 | 180?00?02.89″ | 5,066 | 180?00?07.956″ | — 7,956 | 180?00?00″ | |||
е1 | 7,956 | |||||||
w1 | — 5,066 | |||||||
D | 59?25?19.10″ | 3,035 | 59?25?22.134″ | — 3,685 | 59?25?18.450″ | 0,86 093 557 | 71 625,930 | |
B | 51?46?48.52″ | 3,035 | 51?46?51.554″ | — 3,685 | 51?46?48.870″ | 0,78 564 059 | 65 361,729 | |
C | 68?47?54.33″ | 3,035 | 68?47?57.364″ | — 3,685 | 68?47?53.680″ | 0,93 231 272 | 77 564,185 | |
У2 | 180?00?01.95″ | 9,105 | 180?00?11.052″ | — 11,055 | 180?00?00″ | |||
е2 | 11,055 | |||||||
w2 | — 9,105 | |||||||
Завдання 5. Наближене розв’язування трикутників способом аддитаментів Аддитаменти — це поправки до сторін сферичного трикутника, з врахуванням яких його можна розв’язати за сферичними кутами на основі теореми синусів плоскої тригонометрії. Отже, для сторони b ,
для сторони с .
Числові значення аддитаментів невідомих сторін можна розрахувати за приблизними значеннями їх довжин та .
Розв’язати два малих сферичних трикутники, зображених на схемі, якщо:
— довжина вихідної сторони с1 = (60 000 — 500*8) метрів;
— середня широта Bm = 48?01?01.1111″ + 7?*8.
Виміряні сферичні кути трикутників приведено в таблиці.
Вихідні дані
Номер варіанту № 8
Довжина вихідної сторони | с1 = (60 000 — 500*8) | ||
Середня широта | 48?57?01.1111″ | 48,95 030 864 | |
Сталі величини
b | 6 356 863,019 | e2 | 0,669 342 | с? | 57,29 577 951 | |
Результати вимірів кутів
№ трикутника | Позначення кутів | Виміряні сферичні кути | |
A1 | 78?27?09.18″ | ||
B1 | 51?33?02.51″ | ||
C1 | 49?59?51.20″ | ||
A2 | 59?25?19.10″ | ||
B2 | 51?46?48.52″ | ||
C2 | 68?47?54.33″ | ||
Робочі формули:
Трикутник № 1:
; ;
; .
Трикутник № 2:
; ;
; .
Відомість наближеного розв’язування трикутників
Верш. | Виміряні сферичні кути | Виправлені сферичні кути | Синуси кутів | Приблизні довжини | Аддита; менти | Довжини сторін | ||
C | 49?59?51.20″ | 1,689 | 49?59?52.888″ | 0,76 601 402 | ; | 0,1 284 | 56 000,000 | |
B | 51?33?02.51″ | 1,689 | 51?33?04.198″ | 0,78 315 577 | 57 253,127 | 0,1 342 | 57 253,160 | |
A | 78?27?09.18″ | 1,689 | 78?27?10.868″ | 0,97 975 833 | 71 625,345 | 0,2 100 | 71 625,930 | |
У1 | 180?00?02.89″ | 5,066 | 180?00?07.956″ | |||||
е1 | 7,956 | |||||||
w1 | — 5,066 | |||||||
D | 59?25?19.10″ | 3,035 | 59?25?22.134″ | 0,86 093 557 | ; | 0,2 100 | 71 625,930 | |
B | 51?46?48.52″ | 3,035 | 51?46?51.554″ | 0,78 564 059 | 65 361,959 | 0,1 749 | 65 361,729 | |
C | 68?47?54.33″ | 3,035 | 68?47?57.364″ | 0,93 231 272 | 77 563,903 | 0,2 462 | 77 564,185 | |
У2 | 180?00?01.95″ | 9,105 | 180?00?11.052″ | |||||
е2 | 11,055 | |||||||
w2 | — 9,105 | |||||||
Завдання 6. Розв’язування прямої геодезичної задачі способом допоміжної точки (спосіб Шрейбера) Розв’язування прямої геодезичної задачі способом допоміжної точки виконується посереднім шляхом — обраховують насамперед різниці координат пунктів, а за ними — абсолютні значення координат. За умови використання робочих формул приведеного нижче вигляду, спосіб забезпечує розрахунок геодезичних координат пунктів у тріангуляції 1 класу з точністю десятитисячних часток секунди, азимутів — з точністю тисячних часток секунди.
A і В — пункти на поверхні еліпсоїду з геодезичними координатами B1, L1 і B2, L2. АР — меридіан т. А; ВР — меридіан т.В. А12 і А21 — прямий і зворотній азимут напряму АВ. s — довжина геодезичної лінії АВ. С — допоміжна точка поверхні еліпсоїду, розташована на меридіані т. A так, що геодезична лінія СВ має азимут АСВ = 90?. Точка С має геодезичні координати B0, L1.
Черговість дій при розв’язуванні прямої геодезичної задачі способом допоміжної точки:
1. Обчислення широти точки С
— перша функція геодезичної широти пункту А;
— радіус кривизни меридіанного перерізу в п. А;
; - проміжні умовні позначення; b — різниця широт п. А і т.С.
2. Обчислення широти пункту В
d — різниця широт п. В і т. С,
с — різниця довгот пункту В і точки С,
— проміжні величини.
3. Обчислення довготи пункту В л = ,
л — різниця довгот пунктів, А і В,
4. Обчислення зворотного азимуту А21
А21 =, t — кут, утворений на поверхні еліпсоїду кривою ВР меридіанного перерізу в пункті В та кривою ВТ, яка паралельна меридіанному перерізові у пункті А, е — сферичний надлишок трикутника АВС.
Вихідні дані
Номер варіанту № 8
B1 = 48?01?01.1111″ +7?*8 | 48?57?01.1111″ | 48,95 030 864 | |
L1 = 22?11?11.1111″ +30?*8 | 26?11?11.1111″ | 26,18 641 975 | |
A12 = 1?01?01.111″ +3?*8 | 25?01?01.111″ | 25,1 697 528 | |
s = (60 000 — 500*8) | 56 000 м | ||
Сталі величини
a | 6 378 245 м | e2 | 0,669 342 | e'2 | 0,673 853 | с? | 57,29 577 951 | |
Обчислення широти точки С
Позначення дій | Результати | Позначення дій | Результати | |
0,998 094 819 | 0,456 307 116 | |||
6 371 902,273 | 0,3 975 | |||
50 746,22203 | 0,459 | |||
23 681,65851 | — 0,3 | |||
b | 0,456 291 085 | B0 | 49,40 659 972 | |
0?27?22.65″ | 49?24?23.76″ | |||
Обчислення широти пункту В
Позначення дій | Результати | Позначення дій | Результати | |
0,99 806 840 | 0,46 040 | |||
0,21 232 144 | 0,312 | |||
0,1 054 | 0,270 | |||
с | 0,21 231 920 | 0,4 | ||
0,32 630 018 | d | 0,46 039 | ||
0,24 777 482 | B2 | 49,40 613 933 | ||
49?24?22.1″ | ||||
Обчислення довготи пункту В
Позначення дій | Результати | Позначення дій | Результати | |
0,623 | л | 0,32 629 814 | ||
0,0 | L2 | 26,51 271 789 | ||
26?30?45.78″ | ||||
Обчислення зворотного азимуту
Позначення дій | Результати | Позначення дій | Результати | |
0,84 549 | t | 0,247 772 701 | ||
0,541 | A21 | 205,26 390 249 | ||
0,3 | 205?15?50″ | |||
Завдання 7. Розв’язування прямої геодезичної задачі за формулами Гауса із середніми аргументами Вихідні дані та сталі величини наведено у завданні № 6.
Наближення (1) | |||||
Позначення дій | Результати | Позначення дій | Результати | ||
6 399 698,916 | 1,1 452 017 | ||||
0,456 307 116 | 0,243 826 934 | ||||
0,32 331 773 | |||||
49,1 784 622 | 25,13 888 874 | ||||
Позначення дій | Результати в наближеннях | ||||
(2) | (3) | (4) | (5) | ||
1,143 875 | 1,143 875 | 1,1 438 754 | 1,1 438 754 | ||
0,2 654 | 0,2 702 | 0,2 703 | 0,2 703 | ||
0,760 | 0,774 | 0,774 | 0,774 | ||
0,264 | 0,264 | 0,264 | 0,264 | ||
0,45 583 487 | 0,45 582 911 | 0,45 582 908 | 0,45 582 908 | ||
0,32 628 147 | 0,32 629 866 | 0,32 629 871 | 0,32 629 871 | ||
0,24 691 330 | 0,24 692 543 | 0,24 692 546 | 0,24 692 546 | ||
b | 0,455 836 428 | 0,45 583 069 | 0,45 583 067 | 0,45 583 067 | |
л | 0,326 280 859 | 0,32 629 805 | 0,32 629 811 | 0,32 629 811 | |
t | 0,24 691 507 | 0,24 692 721 | 0,24 692 724 | 0,24 692 724 | |
49,17 822 685 | 49,17 822 398 | 49,17 822 397 | 49,17 822 397 | ||
25,14 043 282 | 25,14 043 888 | 25,14 043 890 | 25,14 043 890 | ||
Кінцеві результати
Позначення дій | Результати | ||
49,40 613 931 | 49?24?22.1″ | ||
26,51 271 786 | 26?30?45.78″ | ||
205,26 390 252 | 205?15?50″ | ||
Завдання 8. Розв’язування оберненої геодезичної задачі за формулами Гауса із середніми аргументами Для розв’язування оберненої геодезичної задачі, в якій за значенням геодезичних координат B1, L1 та B2, L2 пунктів, А та В розраховують значення азимутів А12, А21 та довжини s геодезичної лінії АВ, найбільш оптимально використовувати обернений алгоритм розв’язування за формулами Гауса із середніми аргументами.
У порівнянні з іншими способами розв’язування оберненої геодезичної задачі спосіб Гауса із середніми аргументами виділяється простотою робочих формул, тому розглядається як найбільш оптимальний.
Черговість дій при розв’язуванні оберненої геодезичної задачі за формулами Гауса із середніми аргументами:
1. Обчислення різниць координат, та середньої широти .
2. Обчислення середнього азимуту Аm
за знаками P та Q визначають четверть, в якій розташований напрям Аm.
3. Обчислення довжини геодезичної лінії
або .
4. Обчислення зближення меридіанів t
.
5. Обчислення азимутів
та .
Наведені формули за точністю результатів розрахунків дійсні для віддалей такого ж порядку, що й у прямій геодезичній задачі.
Вихідні дані
Номер варіанту № 8
B1 = 48?01?01.1111″ +7?*8 | 48?57?01.1111″ | 48,95 030 864 | |
L1 = 22?11?11.1111″ +30?*8 | 26?11?11.1111″ | 26,18 641 975 | |
B2 | 49?24?22.1″ | 49,40 613 931 | |
L2 | 26?30?45.78″ | 26,51 271 786 | |
Геодезичні координати пункту В вибрано із завдання № 7.
Сталі величини
a | 6 378 245 м | e'2 | 0,673 853 | с? | 57,29 577 951 | |
Позначення дій | Результати | Позначення дій | Результати | |
1. Обчислення різниць координат і середньої широти | ||||
0,45 583 067 | 49,17 822 397 | |||
0,32 629 811 | ||||
2. Обчислення сумм поправочних коефіцієнтів | ||||
0,270 | Дb | 1,348 | ||
0,264 | ||||
0,77 | Дл | 0,99 999 814 | ||
3. Обчислення середнього азимуту Аm | ||||
6 399 698,916 | 23 790,954 | |||
1,1 438 768 | 25,14 043 968 | |||
50 695,072 | 25?8?25.58″ | |||
4. Обчислення довжини геодезичної лінії s | ||||
55 999,998 м | 55 999,998 м | |||
5. Обчислення зближення меридіанів t | ||||
0,24 692 546 | 1,720 | |||
0,24 692 724 | ||||
6. Обчислення азимутів | ||||
25,1 697 606 | 205,26 390 330 | |||
25?1?1.11″ | 205?15?50″ | |||
Завдання 9. Пряма задача проекції Гауса-Крюгера (перехід з поверхні еліпсоїду на площину) Прямою задачею Гауса — Крюгера називають розв’язування завдання переходу з поверхні еліпсоїду на площину з метою визначення прямокутних координат пунктів, якщо вихідними даними є геодезичні координати B, L початкового пункту А, довжина геодезичної лінії s та азимуту ААВ вихідної сторони АВ мережі геодезичних пунктів.
Хід дій при розв’язуванні прямої задачі Гауса — Крюгера:
1. Розрахунок номера зони n, довготи її осьового меридіану L0 та геодезичних координат ВА, л початкового пункту А, віднесених до зони його розташування.
2. Розрахунок прямокутних координат х, у початкового пункту, А за його геодезичними координатами в зоні ВА, л:
де — радіус кривизни перерізу першого вертикалу;
— друга функція геодезичної широти точки А;
— радіус кривизни меридіанного перерізу при широті В = 90?;
X — довжина дуги осьового меридіану від екватора до паралелі з широтою ВА .
3. Розрахунок зближення меридіанів г на площині у пункті А за геодезичними координатами ВА, л:
.
4. Розрахунок масштабу зображення m в пункті А на площині за геодезичними координатами ВА, л:
5. Розрахунок наближених довжин сторін геодезичної мережі на площині за виміряними сферичними кутами і довжиною геодезичної лінії s вихідної сторони мережі.
Наближені значення довжин на площині обчислюються з розв’язування трикутників за теоремою Лежандра чи способом аддитаментів (див. результати розрахунків завдань № 4,5).
6. Розрахунок наближених значень х', у' плоских прямокутних координат пунктів за координатами хА, уА початкового пункту А, наближеним значенням б'АВ дирекційного кута вихідної сторони АВ, виправленими кутами та наближеними довжинами сторін трикутників на площині.
7. Редукція довжини геодезичної лінії s вихідної сторони АВ з еліпсоїду на площину.
S = s .
8. Редукція напрямів з еліпсоїду на площину.
Для редукції напряму з еліпсоїду на площину поправку д завжди віднімають від виміряного напряму. Наприклад, остаточне значення дирекційного кута б'АВ вихідної сторони АВ на площині
.
За поправками д і виміряними сферичними кутами можна розрахувати виміряні кути у вершинах трикутників, редуковані на площину.
9. Зрівноважування мережі і розрахунок остаточних значень х, у плоских прямокутних координат пунктів за координатами хА, уА початкового пункту, дирекційиим кутом б'АВ та довжиною S вихідної сторони і зрівноваженими кутами та довжинами сторін трикутників на площині.
Розв’язати пряму задачу проекції Гауса — Крюгера для мережі двох трикутників, зображених на схемі, геодезичні координати початкового пункту ВА, LA, азимут вихідної сторони ААВ, довжина геодезичної лінії вихідної сторони АВ, надані у вихідних даних.
Вихідні дані
№ трикутника | Позначення кутів | Виміряні сферичні кути | |
A1 | 78?27?09.18″ | ||
B1 | 51?33?02.51″ | ||
C1 | 49?59?51.20″ | ||
A2 | 59?25?19.10″ | ||
B2 | 51?46?48.52″ | ||
C2 | 68?47?54.33″ | ||
Номер варіанту № 8
B1 = 48?01?01.1111″ +7?*8 | 48?57?01.1111″ | 48,95 030 864 | |
L1 = 22?11?11.1111″ +30?*8 | 26?11?11.1111″ | 26,18 641 975 | |
AАВ = 1?01?01.111″ +3?*8 | 25?01?01.111″ | 25,1 697 528 | |
s = (60 000 — 500*8) | 56 000 м | ||
Сталі величини
a | 6 378 245 м | b | 6 356 863,019 | e2 | 0.669 342 | e'2 | 0,673 853 | |
A | 1,505 177 | B | 0,506 238 | C | 0,1 062 | D | 0,2 | |
с? | 57,29 577 951 | с" | 206 264,8062 | |||||
1. Обчислення номера зони, довгот осевого меридіану та початкового пункту, А в зоні.
Позначення дій | Результати | Позначення дій | Результати | |
5?11?11.11″ | ||||
5,186 419 747 | ||||
2. Обчислення прямокутних координат початкового пункту, масштабу зображень та зближення меридіанів за геодезичними координатами пункту в зоні і наближеного дирекційного кута вихідної сторони на площині:
Позначення дій | Результати | Позначення дій | Результати | |
6 335 552,727 | 379 883,3465 | |||
0,85 866 001 | 12 966,34118 | |||
0,250 716 | 0,353 380 | |||
— 0,72 | 3,91 128 820 | |||
0,460 723 | ||||
X | 5 424 196,908 | m | 1,177 203 | |
6 399 698,916 | xA | 5 437 177,406 | ||
1,145 202 | yA | 4 879 812,687 | ||
6 390 419,919 | г | 3,91 593 568 | ||
1,31 872 019 | 3?54?57.37″ | |||
0,290 614 | 21,10 103 960 | |||
0,845 | 21?06?3.74″ | |||
3. Обчислення наближених довжин сторін трикутників на площині (результати в завданнях 4, 5).
4. Відомість обчислення наближених прямокутних координат вершин трикутників.
Вершини | Виправлені кути | Наближені дирекційні кути | Наближені довжини сторін | Наближені прямокутні координати вершин | ||
B | 201?06?3.74″ | |||||
A | 78?27?08.217″ | 5 437 177,406 | 4 879 812,687 | |||
99?33?11.96″ | 57 253,160 | |||||
C | 118?47?43.917″ | 5 427 675,361 | 4 936 271,835 | |||
38?20?55.88″ | 65 361,729 | |||||
D | 59?25?18.450″ | 5 478 935,142 | 4 976 825,387 | |||
277?46?14.3″ | 77 564,185 | |||||
B | 103?19?49.417″ | 5 489 422,438 | 4 899 973,456 | |||
201?06?3.74″ | 56 000,000 | |||||
A | 5 437 177,406 | 4 879 812,687 | ||||
5. Редукція довжини вихідної сторони з еліпсоїду на площину.
Позначення дій | Результати | Позначення дій | Результати | Позначення дій | Результати | |
6 381 154,376 | 389 893,0714 | 0,0 | ||||
20 160,769 | 0,1 866 648 | 0,0 | ||||
Довжина вихідної сторони на площині S (м) | 56 104,620 | |||||
6. Редукція напрямів з еліпсоїду на площину.
Відомість обчислення поправок до напрямів за кривизну зображення геодезичних ліній на площині.
Напрями Дії | 1: А 2: В | 1: А 2: С | 1: С 2: В | 1: С 2: D | 1: B 2: D | |
6 381 154,376 | 6 381 154,376 | 6 381 154,376 | 6 381 154,376 | 6 381 154,376 | ||
5 437 177,406 | 5 437 177,406 | 5 427 675,361 | 5 427 675,361 | 5 489 422,438 | ||
5 489 422,438 | 5 427 675,361 | 5 489 422,438 | 5 478 935,142 | 5 478 935,142 | ||
379 812,687 | 379 812,687 | 436 271,835 | 436 271,835 | 399 973,456 | ||
399 973,456 | 436 271,835 | 399 973,456 | 476 825,387 | 476 825,387 | ||
389 893,071 | 408 042,261 | 418 122,646 | 456 548,611 | 438 399,422 | ||
386 532,943 | 398 632,403 | 424 172,376 | 449 789,686 | 425 590,766 | ||
393 253,200 | 417 452,119 | 412 072,916 | 463 307,537 | 451 208,077 | ||
0,13 232 | — 0,2 407 | 0,15 639 | 0,12 983 | — 0,2 656 | ||
0,064 | — 0,013 | 0,094 | 0,101 | — 0,018 | ||
0,008 | 0,025 | — 0,017 | 0,022 | 0,039 | ||
51,092″ | — 9,555″ | 66,226″ | 58,317″ | — 11,247″ | ||
— 51,981″ | 10,008″ | — 64,334″ | — 60,072″ | 11,927″ | ||
Дирекційний кут вихідної сторони на площині 21?5?13.2″
7. Відомість обчислення поправок до виміряних сферичних кутів за кривизну зображення геодезичних ліній їх сторін на площині.
№ тр | Вершини | Поправки до напрямів сторін у вершинах кутів | Поправки до виміряних сферичних кутів | № тр | Вершини | Поправки до напрямів сторін у вершинах кутів | Поправки до виміряних сферичних кутів | |||
A | — 9,555″ | 51,092″ | — 60,647″ | C | 58,317″ | 66,226″ | — 7,909″ | |||
B | — 51,981″ | — 64,334″ | 12,353″ | D | 11,927″ | — 60,072″ | 72,000″ | |||
C | 66,226″ | 10,008″ | 56,218″ | B | — 64,334″ | — 11,247″ | — 53,087″ | |||
Контроль: 7,956″ | 7,924″ | Контроль: 11,055″ | 11,003″ | |||||||
8. Відомість зрівноважування трикутників та обчислення довжин сторін на площині.
№ тр. | Верш. | Виміряні сферичні кути | — д | Виміряні плоскі кути | — w/3 | Зрівноважені плоскі кути | Синуси кутів | Довжини сторін | |
C | 49?59?51.20″ | — 56,218 | 49?58?54.98″ | 1,678 | 49?58?56.66″ | 0,76 584 702 | 56 104,621 | ||
B | 51?33?02.51″ | — 12,353 | 51?32?50.16″ | 1,678 | 51?32?51.83″ | 0,78 312 649 | 57 370,485 | ||
A | 78?27?09.18″ | 60,647 | 78?28?09.83″ | 1,678 | 78?28?11.51″ | 0,97 981 970 | 71 779,887 | ||
У1 | 180?00?02.89″ | — 7,924 | 179?59?54.9″ | 5,034 | 180?00?00″ | ||||
е1 | 7,956″ | ||||||||
w1 | — 5,034″ | ||||||||
D | 59?25?19.10″ | — 72,000 | 59?24?7.1″ | 3,018 | 59?24?10.12″ | 0,86 076 700 | 71 779,887 | ||
B | 51?46?48.52″ | 53,087 | 51?47?41.61″ | 3,018 | 51?47?44.63″ | 0,78 581 079 | 65 529,244 | ||
C | 68?47?54.33″ | 7,909 | 68?48?2.24″ | 3,018 | 68?48?5.26″ | 0,93 233 302 | 77 747,822 | ||
У2 | 180?00?01.95″ | — 11,003 | 179?59?50.9″ | 9,053 | 180?00?00″ | ||||
е2 | 11,055″ | ||||||||
w2 | — 9,053″ | ||||||||
9. Відомість обчислення остаточних прямокутних координат вершин трикутників.
Вершини | Зрівноважені плоскі кути | Дирекційні кути сторін | Довжини сторін | Прямокутні координати вершин | ||
xi | yi | |||||
B | 201?05?12.65″ | |||||
A | 78?28?11.51″ | 5 437 177,406 | 4 879 812,687 | |||
99?33?24.16″ | 57 370,485 | |||||
C | 118?47?1.92″ | 5 427 652,544 | 4 936 386,970 | |||
38?20?26.07″ | 65 529,244 | |||||
D | 59?24?10.12″ | 5 479 049,572 | 4 977 037,030 | |||
277?44?36.3″ | 77 747,822 | |||||
B | 103?20?36.4″ | 5 489 525,045 | 4 899 998,155 | |||
201?05?12.65″ | 56 104,621 | |||||
A | 5 437 177,406 | 4 879 812,687 | ||||
Завдання 10. Розрахунок геодезичних координат пункту за плоскими прямокутними координатами За своїм змістом поставлене завдання є частиною оберненої задачі проекції Гауса — Крюгера, яка має на меті здійснення переходу з площини на поверхню еліпсоїду з обчисленням геодезичних координат B, L, якщо вихідними даними є прямокутні координати х, у геодезичних пунктів.
Абсциса x точки, а на площині виражається відрізком, який відповідає довжині дуги осьового меридіану від екватора до точки а1 з широтою В1.
Широту В1 можна обчислити за довжиною дуги меридіану, що відповідає х. Тут можна скористатись формулою обчислення довжини дуги меридіану вигляду (5) і виразити з неї потрібну широту В1, прийнявши s = x. Отже, В1 — широта основи ординати точки у = 0:
По мірі віддалення від осьового меридіану на величину ординати у для широти В точки, А має місце нерівність В < В1. Широті В відповідає довжина дуги Х осьового меридіану від екватора до паралелі точки А. Тому остаточно потрібна широта точки, А залежатиме від В1 та ординати у точки в зоні проекції Гауса — Крюгера:
де — радіус кривизни меридіанного перерізу; - радіус кривизни перерізу першого вертикалу; - радіус кривизни меридіанного перерізу в полюсі; - друга функція широти B1.
Довгота л точки, А в зоні проекції Гауса — Крюгера:
Довгота точки на поверхні еліпсоїду: L = L0 + л.
Вихідні дані
Плоскі прямокутні координати пункту B | xB (м) | 5 489 525,045 | |
yB (м) | 4 899 998,155 | ||
Сталі величини
a | 6 378 245 м | e'2 | 0,673 853 | с" | 206 264,8062 | |
Відомість обчислення широти В1
Позначення дій | Результати в наближеннях | |||||
(1) | (2) | (3) | (4) | (5) | ||
0.7 114 572 | — 0,0006 | — 0,0006 | — 0,0006 | — 0,0006 | ||
0.5 451 113 292 | — 0,1646 | — 0,1698 | — 0,1698 | — 0,1698 | ||
519.4 709 177 | 513,3693 | 512,9677 | 512,9680 | 512,9680 | ||
0.32 930 760 x | 177 822,6020 | 177 822,6020 | 177 822,6020 | 177 822,6020 | 177 822,6020 | |
177 822,6020 | 178 336,1353 | 178 335,7388 | 178 335,7391 | 178 335,7391 | ||
Широта В1 = 49?32?15.7″ | ||||||
Відомість обчислення геодезичних координат пункту В.
Позначення дій | Результати | Позначення дій | Результати | |
6 399 698,916 | 0,35 106 423 | |||
1,1 417 903 | 475,4 343 609 | |||
6 390 637,612 | B | 177 862,1057 | ||
6 372 553,476 | 49?24?22.1″ | |||
19 894,332286 | л | 19 845,5951 | ||
0,391 767 | 5?30?45.6″ | |||
1,374 547 573 | L = L0 + л | 95 445,5951 | ||
0,2 837 816 | 26?30?45.7″ | |||