Застосування функцій в економіці. 
Лінійна інтерполяція функцій

Реферат Застосування функцій в економіці. Лінійна інтерполяція функцій.

Спектр використання функцій в економіці дуже великий — від найпростіших лінійних функцій до функцій, які отримані за деяким алгоритмом, що зв’язує рекурентні відношення, досліджуваних об'єктів у різні періоди часу. Періодичність ряду економічних процесів, їх коливання дозволяють використовувати також і тригонометричні функції.

Найбільш часто в економіці використовують функції:

1. Функція попиту — залежність об'єму попиту, запропонування, потреби на різні товари та послуги від ціни, доходу і т. д.

2. Функція корисності - в широкому змісті залежність корисності або результату, ефекту дії від інтенсивності цієї дії.

3. Виробнича функція — залежність результату виробничої діяльності від факторів, що її зумовлюють.

4. Функція випуску — залежність об'єму виробництва від матеріальних ресурсів та попиту.

5. Функція витрат — залежність витрат виробництва від об'єму продукції.

У зв’язку з тим, що економічні процеси та явища зумовлюються дією різних факторів, для їх дослідження широко використовуються функції багатьох змінних. Використовуються також сепарабельні функції, які дають можливість виділити вплив різних факторів змінних на залежну величину, адитивні функції, що являють собою одну і ту ж змінну як при сумарному впливі деяких факторів, так і при одночасній їх дії, так дії кожного фактора окремо. Функції багатьох змінних будуть розглянуті пізніше.

Якщо дією деяких факторів можна знехтувати, або зафіксувати ці фактори на певному рівні, то вплив одного з них вивчається за допомогою функції однієї змінної.

Так, залежність попиту на різні товари від прибутку задається фунмііями Торкнвіста:

$$y=b_1(x-a_1)/(x-c_1),(x>a_1)-$$.

$$y=b_2(x-a_2)/(x-c_2),(x>a_2)-$$.

$$y=b_{3}x(x-a_3)/(x-c_3),(x>a_3)-$$.

Якщо дослідити ці функції, то можна встановити рівень прибутку «, а2, а3 при якому починається закупка тих чи інших товарів та рівня їх насиченості Ь, Ь2 для групи товарів першої та другої необхідності (рис. 1).

Розглянемо в одній системі координат криві попиту та запропонування. Графіки дають можливість встановити ринкову ціну даного товару за умов конкурентного ринку (павутинна модель (рис. 2).

Прикладів застосування функцій можна запропонувати дуже багато.

Зупинимося ще на використанні в економіці таблиць функцій, що дають можливість різні розрахунки включити або спростити великі обчислення.

При обчисленні за допомогою таблиць аргумент задається більш точно, ніж дозволяє таблиця. В цьому випадку використовують інтерполяцію — наближеному знаходженню невідомих значень.

рис. 1.

рис. 2.

функцій по відомих її значеннях в заданих точках. Найпростішою є лінійна інтерполяція, при якій допускається, що приріст функції пропорційний приросту аргументу. Якщо задане значення х лежит між приведеними значеннями $$x_0$$ та $$x_1=x_0+h$$, яким відповідає значення функції $$f(x_0)$$ та $$f(x_1)=f(x_0)+\mathit{}$$, то вважають, що, $$f(x)f(x_0)+\mathit{}(x-x_0)/h,\mathit{}(x-x_0)/h$$ — інтерполяційні поправки. Ці величини обчислюються за допомогою таблиці. Якщо по заданих значеннях функції необхідно знайти наближене значення аргументу, то проводять обернену інтерполяцію.

Приклад 1. Функція $$f(x)$$ задана таблицею:

Використовуючи лінійну інтерполяцію, знайти $$f(1\text{.}\text{004})$$ .

Оскільки.

$$x_0=1-f(x_0)=2\text{.}\text{04}-x_1=\text{102}-f(x_1)=2\text{.}\text{28}-$$.

$$h=x_1-x_0=1\text{.}\text{02}-1\text{.}\text{00}=0\text{.}\text{02}-\mathit{}=f(x_1)-f(x_0)=2\text{.}\text{28}-2\text{.}\text{04}=0\text{.}\text{24}$$ .

Тепер за інтерполяційною формулою:

$$f(x)f(x_0)+\mathit{}(x-x_0)/h-$$.

$$f(x)=2\text{.}\text{04}+0\text{.}\text{24}(x-1)/0\text{.}\text{02}-$$.

$$f(x)=2\text{.}\text{04}+(x-1)\text{12}-$$.

$$f(x)=2\text{.}\text{04}+\text{12}x-\text{12}-$$.

$$f(x)=\text{12}x-9\text{.}\text{96}\text{.}$$.

Знайдемо $$f(1\text{.}\text{004})f(1\text{.}\text{004})=\text{12}1\text{.}\text{004}-9\text{.}\text{96}=2\text{.}\text{0088}\text{.}$$.

Задачі для самостійної роботи.

1. Продаж товару в залежності від дня місяця підкоряється закону $$y=2x^2-x$$. Побудувати графік функції та знайти кількість проданого товару за 7, 12 та 14 днів місяця.

2. Знайти область визначення функцій:

а) $$y=\frac{1}{1-x}+\sqrt{x^2-1-}$$.

б) $$y={\text{log}}_2(-x)-$$.

в) $$y=\frac{1}{x^2-5x+6}\text{.}$$.

3. Дослідити на парність та непарність функції;

а) $$y=x^4-x-$$.

б) $$y=t-1$$.

в) $$y=x^3-3x^2-$$.

г) $$y=x^4=2x^2\text{.}$$.

4. Побудувати графіки функцій:

а) $$y=(x-2{)}^2-$$.

б) $$y=2^{x-1}-$$.

в) $$y={\text{log}}_{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}(-x)-$$.

г) $$y=2x^2+1-$$.

д) $$y=5x-1-$$.

е) $$y=|x-1|$$.

1. 5.Дано:

$$f(x)=\frac{1}{x-1}+x^4\text{.}$$.

Обчислити: $$f(2)-f(3)-f(-1)\text{.}$$.